Métrica de la siguiente espacio-tiempo y el índice de refracción

Question

Vamos a tener métricas $$ ds^{2} = f(\mathbf r)dt^{2} - h(\mathbf r )\delta_{ij}dx^{i}dx^{j}. $$ Caliente para mostrar que el movimiento de la luz en el espacio-tiempo con esta métrica es igual a movimiento en los medios de comunicación continua con índice de refracción $n = \sqrt{\frac{h}{f}}$?

Es lógico empezar a partir de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo, $$ D_{\mu}D^{\mu}^{\nu} - R^{\nu}_{\quad \sigma}^{\sigma} = 4\pi J^{\nu}, $$ y, a continuación, mostrar que es igual a la de las ecuaciones de Maxwell para medios continuos (por cierto, ¿cómo escribirlas para este caso?)?

Edit.

Hmm, la tarea está casi resuelto.

Uno más de edición.

Se resuelve.

En primer lugar, me escribió ecuación de Maxwell para medios de comunicación en una forma de $$ \partial_{\alpha}F_{\beta \gamma} + \partial_{\beta}F_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}F_{\alpha \beta} = 0, \qquad (1) $$ $$ \quad \partial_{\beta}H^{\beta \alpha} = 4\pi j^{\alpha}, \qquad (2) $$ donde $H^{\alpha \beta} = \varepsilon \eta^{\alpha \mu}\eta^{\beta \nu}F_{\mu \nu}$, $$ \eta^{\alpha \mu} = diag \left(\sqrt{\mu \varepsilon}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \right). $$ Esta conexión obvia si escribir conexión $$ F(\mathbf E , \mathbf B ) \F(\mathbf D , \mathbf H ) = H(\mathbf D , \mathbf H ). $$ Segundo, me escribió las ecuaciones para la curva el espacio-tiempo: $$ D_{\alpha}f_{\beta \gamma} + D_{\beta}f_{\gamma \alpha} + D_{\gamma}f_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha}f_{\beta \gamma} + \partial_{\beta}f_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}f_{\alpha \beta} = 0, \qquad (3) $$ $$ D_{\beta}h^{\beta \alpha} = \frac{1}{\sqrt {g}}\partial_{\beta}(\sqrt {g}h^{\beta \alpha}) = 4 \pi J^{\alpha}, \qquad (4) $$ donde $h^{\beta \alpha} = g^{\beta \mu}g^{\alpha \nu}f_{\mu \nu}$, y donde he utilizado la igualdad de la derivada covariante de un tensor antisimétrico cuando no es la convolución.

Así que si utiliza la sustitución $$ F_{\alpha \beta} = f_{\alpha \beta}, \quad H^{\beta \alpha} = \sqrt {g}g^{\alpha \mu}g^{\beta \nu}f_{\mu \nu}, \quad j^{\alpha} = \sqrt {g}J^{\alpha}, $$ las ecuaciones $(3), (4)$ va a ser "reducido" a $(1), (2)$.

Entonces todo lo que queda es encontrar la conexión entre métricas y $\varepsilon , \mu$. No es difícil cuando métricas es la diagonal: $$ D^{i} = g^{i \alpha}g^{0\beta }F_{\alpha \beta} = -g^{i0}g^{0j}F_{j0} + g^{ij}g^{0 l}F_{jl} + g^{ij}g^{00}F_{j0} = g^{ii}g^{00}F_{i0} = \frac{1}{fh}E^{i} = \varepsilon E^{i}, $$ $$ F^{ij} = g^{i \alpha}g^{j \beta }F_{\alpha \beta} = -g^{0i}g^{jk}F_{k0} + g^{ik}g^{j0}F_{k0} + g^{ik}g^{jl}F_{kl} = g^{ii}g^{jj}F_{ij} = \frac{1}{h^{2}}F_{ij} \Rightarrow $$ $$ H_{m} = -\frac{1}{2}\varepsilon_{m ij}F^{ij} = \frac{B_{m}}{h^{2}} = \frac{B_{m}}{\mu}, $$ así $$ n = \sqrt{\varepsilon \mu} = \sqrt{\frac{h^{2}}{hf}} = \sqrt{\frac{h}{f}}. $$

Answer 1

Null geodesics en curva el espacio-tiempo podría encontrarse el uso de Hamilton-Jacobi ecuación: $$ g^{\mu\nu}\partial_\mu S \partial_\nu S = 0. $$

La métrica en cuestión es estático, por lo que nos podría separar el $t$ variable por escrito $S = W(\mathbf{r}) - E\,t,$ $E$ una constante. Inverse métrica es la diagonal: $g^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(f^{-1},-h^{-1},-h^{-1},-h^{-1})$. Después de la sustitución obtenemos: $$ f^{-1} E^2 - h^{-1} (\nabla W )^2 = 0, $$ donde $(\nabla W)^2 = \delta_{ij} \partial _i W \partial _j W$. La ecuación podría ser fácilmente convertida en la forma convencional de eikonal ecuación que rige la propagación de la luz en medios continuos. Hemos creado $W = E\, \tau (\mathbf{r}) $ y obtener $$ (\nabla \tau)^2 = \left(\sqrt{\frac h f}\right)^2 = n^2, $$ donde hemos introducido el índice de refracción $n(\mathbf{r })=\sqrt{\frac h f}$.