¿Cómo se justifica el valor máximo del campo magnético de una estrella en la superficie?

Question

En muchas conferencias, se afirma que el valor máximo $B_{\text{max}}$ del campo magnético en la superficie de una estrella se puede encontrar en la teoría de la gravitación de Newton igualando la energía potencial gravitatoria con la energía del campo magnético. Para una esfera de masa $M$ y el radio $R$ de uniforme densidad y uniformemente magnetizado : \begin{equation}\tag{1} |\, U_{\text{grav}}| = \frac{3 G M^2}{5 R} = E_{\text{magn}} = \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}, \end{equation} donde $\mu$ es el momento magnético dipolar de la esfera. La parte derecha es la energía total almacenada en el campo magnético de un dipolo: \begin{align} E_{\text{magn}} = \int \frac{B^2}{2 \mu_0} \, d^3 x &= \int_0^R \frac{B_{\text{int}}^2}{2 \mu_0} \, 4 \pi r^2 \, dr + \int_R^{\infty} \frac{B_{\text{ext}}^2(r, \theta)}{2 \mu_0} \, r^2 \, dr \, \sin{\theta} \, d\theta \, d\varphi \\[12pt] &= \frac{\mu_0 \, \mu^2}{4 \pi R^3}. \tag{2} \end{align} Como la esfera está uniformemente magnetizada en su volumen, el campo magnético interno es una constante : \begin{equation}\tag{3} B_{\text{int}} = \frac{2}{3} \, \mu_0 \, M = \frac{\mu_0 \, \mu}{2 \pi R^3} \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{2 \pi B_{\text{int}} \, R^3}{\mu_0}. \end{equation} Sustituyendo este momento magnético en la ecuación (1) se obtiene la máxima intensidad de campo dentro y en la superficie de la esfera: \begin{equation}\tag{4} B_{\text{int max}} = \sqrt{\frac{3 \mu_0 \, G}{5 \pi}} \, \frac{M}{R^2}. \end{equation} Así que para una estrella de masa $M = 0.6 \, M_{\odot}$ y el radio $R = 10^4 \, \mathrm{km}$ (una típica enana blanca), esto da \begin{equation} B_{\text{int max}} \approx 5 \times 10^7 \, \mathrm{tesla} = 5 \times 10^{11} \, \mathrm{gauss}. \end{equation}

¿Pero cómo podemos justificar la ecuación (1)? ¿Se puede hacer más rigurosa? ¿Por qué deberíamos tener $E_{\text{magn}} + U_{\text{grav}} = 0$ para la intensidad de campo máxima?

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EDITAR : En el caso de una estrella de neutrones canónica de radio $R \approx 10 \, \mathrm{km}$ y la masa $M \approx 1,44 \, M_{\odot}$ la ecuación (4) da \begin{equation}\tag{5} B_{\text{int max NS}} \approx 10^{14} \, \mathrm{tesla} = 10^{18} \, \mathrm{gauss}, \end{equation} lo cual es bastante excesivo (AFAIK). El más fuerte conocido imanes tienen como máximo un campo de aproximadamente $10^{15} \, \mathrm{gauss}$ . Entonces, ¿hay alguna forma teórica de reducir el valor (5)?

Answer 1

La energía total de una estrella debe ser inferior a cero para que sea un objeto ligado gravitatoriamente.

La energía total es la suma de la energía potencial gravitatoria negativa (su expresión supone una estrella de densidad uniforme) y los términos positivos debidos a la presión del gas, la turbulencia, la rotación y, por supuesto, los campos magnéticos.

La energía magnética máxima se puede encontrar igualando la energía total a cero y haciendo que los otros términos positivos sean cero. Si son $>0$ (que lo son en una estrella real) entonces, por supuesto, la mayor energía magnética posible será menor.

Luego tienes que decidir cómo quieres relacionar eso con el campo magnético y el momento dipolar, ya que la densidad de energía magnética dependerá del tamaño de equilibrio de la estrella, aunque yo habría pensado que deberías hacer $B_{\rm int} R^2$ una constante, porque el flujo magnético a través de la superficie se conserva cuando el tamaño cambia.