La existencia de $x \in [0, 2]$ tal que $f(x) = x^2$

Question

Deje $f : [0, 2] → \mathbb R$ ser continua y $f(2) = 0$. Si $\lim \limits _{x \to 1} \frac {f(x) − 2} {\sqrt x − 1} = 1$, luego de demostrar que no existe $x \in [0, 2]$ tal que $f(x) = x^2$.

Traté de usar la regla de L'Hospital para obtener $f'(1)=\frac 1 2$. Pero para el foolwing pasos tengo ni idea. Por favor ayuda!!

Answer 1

Por la existencia del límite y $\sqrt x-1\to 0$$x\to 1$, llegamos a la conclusión de que también se $f(x)-2\to 0$$x\to 1$. Por lo tanto, por la continuidad de $f$, $f(1)=2$. Pero entonces el IVT aplicado a $g(x):=f(x)-x^2$ $[1,2]$ demuestra la demanda (tenga en cuenta que$g(1)=1>0$$g(2)=-4<0$).