Pregunta sobre la prueba de Hessenberg: $\kappa \cdot \lambda = \lambda$

Question

El siguiente es un teorema:

(Hessenberg) Sea $1 \le \kappa \le \lambda$ donde $\lambda$ es un cardinal infinito. Entonces $\kappa \cdot \lambda = \lambda$ .

La prueba en el libro procede por inducción transfinita mostrando $\lambda \cdot \lambda \le \lambda$ . Tengo una pregunta sobre el paso de inducción. En la prueba se define un bien-orden en $\lambda \times \lambda$ y luego demostrar que todo segmento inicial adecuado de $\lambda \times \lambda$ tiene cardinalidad inferior a $\lambda$ . Parece largo.

Por qué no se puede discutir así: Por la suposición inductiva tenemos $\kappa \cdot \kappa \le \kappa$ para todos $\kappa < \lambda$ . Por lo tanto $\sup (\kappa \cdot \kappa) \le \sup \kappa $ . Pero $\sup \kappa = \lambda$ y $\sup \kappa \cdot \kappa = \lambda \cdot \lambda$ lo que prueba la afirmación.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

No funciona para los cardenales sucesores. Si $\lambda=\mu^+$ entonces $\sup_{\kappa<\lambda}\kappa=\mu<\lambda$ .

Para los cardenales límite tampoco funciona tan fácilmente. Sólo tendrías que $\sup_{\kappa<\lambda} \kappa\cdot \kappa=\lambda$ pero no sabes si el primero es realmente $\lambda\cdot\lambda$ .

Answer 2

Ten en cuenta que no estás discutiendo exactamente sobre la cardinalidad, sino sobre el tipo de orden de la suma de Hessenberg. $\newcommand{\otp}{\operatorname{otp}}$

Además, si tiene $\otp(\kappa\boxplus\kappa)=\kappa$ (donde $\otp$ denota el tipo de orden y $\boxplus$ es la suma de Hessenberg) entonces te quedas atascado en el paso sucesor:

Si $\lambda=\kappa^+$ entonces su sugerencia ni siquiera va más allá de cualquier límite ordinal por encima de $\kappa$ .

Para los cardenales límite que todavía no saben que $\otp(\kappa\boxplus\lambda)$ es menor o mayor que $\lambda$ y no se puede utilizar para $\otp(\lambda\boxplus\lambda)=\lambda$ .