¿Qué significa?

Question

mostrar que las relaciones $a^4=1$, $b^2=a^2$, $b^{-1}ab=a^{-1}$ definir un grupo de orden 8.

Esta es una tarea problema tengo. No entiendo lo que quieren decir con "un grupo de orden 8', porque creo que sólo tiene sentido hablar sobre el fin de un elemento en un grupo. Por ejemplo, el elemento 2 es de orden 2 en el grupo $Z_4$.

Debo tratar de demostrar que puede ser generado por un elemento de orden 8? No creo que esto es correcto, aunque, debido a $a^4=1$, por lo que el mínimo de pedido debe ser de 4.

Answer 1

Esto significa que el grupo que se presenta por $$\langle a,b\mid a^4 = 1, b^2=a^2, b^{-1}ab = a^{-1}\rangle$$ es un grupo con exactamente $8$ elementos. Es decir, la mayoría de los generales del grupo que satisfaga estas relaciones tiene 8 elementos.

Sugiero encontrar una forma normal de los elementos (tal vez todos ellos se puede escribir como $a^ib^j$ $i$ $j$ en cierto rango?) para dar una cota superior, y luego encontrar un grupo que sabe que ha $8$ elementos, y que tiene dos elementos que satisfacen el dado de las relaciones y generar, para mostrar que el grupo ha presentado, al menos, $8$ elementos (por von Dyck del teorema).