¿Cuál es la probabilidad de que dos números entre 1 y 10 escoge al azar suma a un número mayor que 5?

Question

Tenemos los números de $1$ a través de $10$ en un cuadro, se escoge uno al azar, escribirlo y ponerlo de vuelta en la caja. Pasamos a buscar a otro de los números al azar y escribirlo de nuevo. Si sumamos los dos números, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que $5$?

Al principio pensé que me podría contar el número de maneras en que podemos sumar dos números para llegar a seis, es decir, $2+4$ y ver cuáles son las posibilidades para obtener números más grandes que esas decisiones. A continuación, la adición de todas las probabilidades que se relacionan con cada forma. Sin embargo, puedo obtener los números de mayor a $1$ lo cual es imposible. También pensé en la posibilidad de obtener un $1$ y, a continuación, un número igual o mayor a $5$, $P(x \ge 5) = \frac 12$ la multiplicación de ellos juntos y repetir hasta que todos los números. De nuevo, la respuesta es incorrecta.

Mi pregunta es: ¿cómo podemos llegar a la respuesta correcta? Es posible generalizar? Decir que la probabilidad de $n$ números seleccionados al azar de $N$ opciones de agregar algo mayor que $k$.

Answer 1

En este caso, es más fácil encontrar la probabilidad de $p$ que la suma es $\le 5$. A continuación, la respuesta al problema original es $1-p$.

Podemos enumerar y contar los pares ordenados $(a,b)$ de los números que tienen suma $\le 5$.

Si $a=1$ hay $4$ si $a=2$ hay $3$, y así sucesivamente hacia abajo a $1$.

Así que hay $10$ pares ordenados. Cada uno tiene probabilidad de $\frac{1}{10^2}$, lo $p=\frac{10}{10^2}$.

Comentario: La misma idea funcionará en su caso general, mientras $k\le n+1$. Una modificación de tomar el cuidado del resto de la $k$.

Answer 2

Comienzo con la mirada en cada caso y luego derivar la probabilidad: la primera columna indica el número en la primera selección y el segundo el número que se necesita por lo menos durante 2 º pick que $>5$. La tercera muestra la probabilidad para el caso:

1  5 = 1/10 * 6/10
2  4 = 1/10 * 7/10
3  3 = 1/10 * 8/10
4  2 = 1/10 * 9/10
5  1 = 1/10 * 10/10
6  0 = 1/10 * 10/10
7  0 = 1/10 * 10/10
8  0 = 1/10 * 10/10
9  0 = 1/10 * 10/10
10 0 = 1/10 * 10/10

Por lo tanto la probabilidad todo es

$p = 6/100 + 7/100 + 8/100 + 9/100 + 6 * 1/10 = 9/10$

De esto, puede derivar una fórmula general para arbitrario $n$ y $k$:

$p = {1\over n^2} ((k + 1) + \dots + n) = {n^2-{k(k-1)\over2}\over n^2} = 1 -{k(k-1) \over 2n^2}$

Answer 3

Usted podría solucionar esto con funciones de generación. La generación de la función de esta situación, equivalente a rodar una feria de 10 caras, morir dos veces, es:

$$(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^{10})^2$$

que se expande a

$$x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 4 x^5 + 5 x^6 + 6 x^7 + 7 x^8 + 8 x^9 + 9 x^{10} + 10 x^{11} + 9 x^{12} + 8 x^{13} + 7 x^{14} + 6 x^{15} + 5 x^{16} + 4 x^{17} + 3 x^{18} + 2 x^{19} + x^{20}$$

El coeficiente de cada una de las $x^n$ es el número de maneras de obtener una suma de $n$ a partir de los dos sorteos. Hay 100 total de posibilidades ($10 \cdot 10$) con dos sorteos de 1...10 con reemplazo. Mirando el polinomio anterior, los coeficientes de la monomials $x^2$ a través de $x^5$ muestran que hay un total de 10 maneras de obtener una suma de 5 o menos. Por lo tanto, la probabilidad de que una suma mayor de 5 es 90/100 o de 0.9.

Quizás una manera más sencilla es eliminar primero los casos en los que al menos un empate es 5 o mayor, ya que estos garantizan una suma mayor de cinco. Hay 84 de estos, dejando sólo el 16 casos en los que ambos cuadros son 4 o menos. Esto también puede ser hecho con una generación de función (aunque el conteo manual es muy fácil):

$$(x + x^2 + x^3 + x^4)^2 = x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 4 x^5 + 3 x^6 + 2 x^7 + x^8$$

una vez más, de dar el 10 de cada 100 casos donde la suma es 5 o menos.

Answer 4

El caso general puede ser manejado formalmente como sigue. Definir $P(X_1)=...=P(X_n)=1/N$. Entonces $$ \mathbb{P}\left(\sum_i X_i>k\right)=\sum_{i=k+1}^{Nn} \mathbb{P}\left(\sum_i X_i=r\right)=\sum_{i=k+1}^{Nn} \sum_{\bf X} P(X_1)\cdots P(X_n)\delta_{\sum_i X_i,r}\ , $$ donde $\delta_{a,b}$ es la delta de Kronecker, y $\sum_{\bf X}$ representa la suma de todos los posibles valores de todas las variables $X_i$. Por lo tanto, obtener $$ \frac{1}{N^n}\sum_{i=k+1}^{Nn}\int_0^{2\pi}\frac{d\xi}{2\pi}e^{\mathrm{i}r\xi} \sum_{\bf X}e^{-\mathrm{i}\xi\sum_{i=1}^n X_i}=\frac{1}{N^n}\sum_{i=k+1}^{Nn}\int_0^{2\pi}\frac{d\xi}{2\pi}e^{\mathrm{i}r\xi} \left(\sum_{X_1}e^{-\mathrm{i}\xi X_1}\right)^n\ , $$ donde he utilizado la representación integral de la delta de Kronecker, y el hecho de que los sorteos son independientes. Especializada para nuestro caso, con $n=2$$N=10$, obtenemos $$ \frac{1}{10^2}\sum_{r=6}^{20}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\xi}{2\pi}e^{\mathrm{i}r\xi}\left(\sum_{j=1}^{10}e^{-\mathrm{i}\xi j}\right)^2=90/100\ . $$

Answer 5

La generalización del cálculo de probabilidades para sumas de variables aleatorias se realiza a través de la convolución, por lo que es el término a buscar si usted está interesado en esto.

Su primera idea fue buena, pero tal vez usted ha cometido un error en el cálculo de las probabilidades antes de añadirlas. La probabilidad de obtener 6, por ejemplo, es:

$P( (5,1) ) + P((4,2)) + P((3,3)) +... =$

$P(5)\cdot P(1)+ ... =$

$0.01 + ...=$

Así que te permite añadir probabilidades si se paran para distintos eventos, es decir, eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. La probabilidad de obtener dos números específicos para dos empates de manera independiente se obtiene a través de la multiplicación.