¿Qué tipo de anillos (conmutativos, con la unidad) tiene exactamente tres ideales? Sé que con exactamente dos ideales son "los campos", pero, ¿tres? ¿Hay un nombre de fantasia para ellos?
Respuesta
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Jeff
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Deje $R$ ser un conmutativa con exactamente tres ideales. Estos deben ser $0 \subset \mathfrak{m} \subset R$ por algún ideal $\mathfrak{m}$. De ello se desprende $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal, de hecho, el único que, por lo que el $R$ es local.
Elija $x \in \mathfrak{m} \setminus \{0\}$,$0 \neq \langle x \rangle \neq R$, por lo tanto $\mathfrak{m} = \langle x \rangle$. Llegamos a la conclusión de que $R$ es un especial director de ideal del anillo. Ahora mira a $\mathfrak{m}^2$. Si $\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}$, entonces el Nakayama Lema implica $\mathfrak{m}=0$, una contradicción. Por otra parte tenemos a $\mathfrak{m}^2=0$.
Por el contrario, vamos a $R$ ser un director ideal anillo con ideal maximal $\mathfrak{m}$ satisfacción $\mathfrak{m}^2=0$$\mathfrak{m} \neq 0$. A continuación, $R$ tiene exactamente tres ideales.
