Matriz conmutada con conmutador

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son reales o complejos $n \times n$ matrices y $C = [A,B]$ es su conmutador. Si $C$ se desplaza con $A$ , demuestran que $C$ es nilpotente.

Answer 1

Supongo que hay pruebas elementales para este resultado, pero la única que se me ocurre ahora es el siguiente resultado para derivaciones acotadas, que se aplica a muchos otros casos. Se puede ver en El libro de Murphy (problema 12-14 del capítulo 1), aquí sólo esbozo los pasos clave.

Dejemos que $\mathcal{A}$ sea un álgebra, un mapa lineal $d:\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ es una derivación si \begin{equation} d(ab)=ad(b)-bd(a) \end{equation} para todos $a,b\in \mathcal{A}$ . Las derivaciones satisfacen la fórmula de Leibniz \begin{equation} d^n(ab)=\operatorname{\sum_{k=0}^n}\frac{n!}{(n-k)!k!}d^k(a)d^{n-k}(b). \end{equation} ( Piensa en los derivados. )

Ahora dejemos que $\mathcal{A}$ sea un álgebra de Banach unital y $d$ estar acotado. Si tenemos $a\in \mathcal{A}$ tal que $d(a)=\lambda a$ para algunos $\lambda\neq 0$ entonces se puede aplicar Leibniz a $d(a^n)$ para ver $a^n=0$ para grandes $n$ . ( Tenga en cuenta que $\lambda$ está en el espectro de $d$ que es un conjunto acotado. )

Ahora bien, si tenemos $d^2(a)=0$ entonces podemos mostrar $d^n(a^n)=n!(d(a))^n$ lo que da como resultado $d(a)$ es cuasi-nilpotente. Porque \begin{equation} \|d^n\|\ge n!\frac{\|(da)^n\|}{\|a^n\|} \end{equation} y luego \begin{equation} \|d\|=\operatorname{lim}\|d^n\|^{1/n}\ge\operatorname{lim}(n!)^{1/n}\frac{\|(da)^n\|^{1/n}}{\|a^n\|^{1/n}}, \end{equation} por lo que la única posibilidad de que $\|d\|$ puede permanecer acotado es cuando $\operatorname{lim}\|(da)^n\|^{1/n}=0$ que dice $da$ es cuasi-nilpotente.

En resumen, lo que hemos demostrado es que en un álgebra de banach unital $\mathcal{A}$ , si $d^2(a)=0$ para alguna derivación $d$ entonces $d(a)$ es cuasi-nilpotente. Apliquemos esto a $\mathcal{A}=M_n(\mathbb{C})$ y la derivación definida por $B\mapsto AB-BA$ , entonces puedes ver $[A,B]=d(B)$ .

Si $[A,B]$ se desplaza con $A$ entonces $d^2(B)=d([A,B])=0$ Así que $[A,B]=d(B)$ es cuasi-nilpotente. Pero en espacios de dimensión finita como $M_n{\mathbb{C}}$ , esto es lo mismo que nilpotente.

Por cierto, este es el teorema de Kleinecke-Shirokov.