Integración en un área

Question

Necesito integrar $f(x,y):=x^2y^2$ sobre un área $B\subset\mathbb R^2$ que está restringido por las 4 funciones siguientes: $$y=\frac x9;\;y=\frac x4;\;y=\frac 1x;\;y=\frac4x;$$ Por supuesto, debido a la simetría podemos integrar justo sobre el área en el positivo $x$ - $y$ y multiplique el resultado por dos.

Me confunde la elección de los límites de la integración. Por un lado podría ser $$\frac x9 \leq y\leq \frac x4,\;2\leq x\leq6$$ o alternativamente $$\frac 1x \leq y\leq \frac 4x,\;2\leq x\leq6$$

Entonces, ¿cómo elegir los límites para calcular $\int_Bx^2y^2d\mu(x,y)?$

Answer 1

Para solucionarlo, hay que utilizar un cambio de coordenadas no estándar. Adopte $u = xy$ y $v = x/y$ .

El motivo es el siguiente: se pueden reescribir las ecuaciones $y=1/x$ y $y=4/x$ como $xy =1$ y $xy=4$ por lo que obtenemos el cambio $u=xy$ .

Puedes reescribir las otras dos ecuaciones $y=x/4$ y $y=x/9$ como $x/y=4$ y $x/y=9$ que conduce a $v=x/y$ . Aislar $x$ y $y$ en términos de $u$ y $v$ como se define se obtiene $$x = \sqrt{uv}, \quad y = \sqrt{\frac{u}{v}}.$$ Calculando el jacobiano y tomando el valor absoluto se obtiene $$|J(u,v)| = \frac{1}{2v}.$$ Los nuevos límites son $1 \leq u \leq 4 $ y $4 \leq v \leq 9$ . La función $f(x,y) = x^2y^2$ es ahora $g(u,v) = u^2$ y la integral es $$I = \frac{1}{2} \int_1^4 \int_4^9 \frac{u^2}{v} \, dv \, du.$$ Mi cálculo da como resultado $$I = 21 \ln \left( \frac{3}{2} \right).$$

Answer 2

Cambiar a coordenadas polares. Entonces tienes la siguiente integral: $$\int_{\tan^{-1}\frac{1}{9}}^{\tan^{-1}\frac{1}{4}} \int_{\sqrt{2\csc(2\theta)}}^{2\sqrt{2\csc(2\theta)}}r^5\sin^2\theta\cos^2\theta\,dr\,d\theta=\frac{1}{6}\int_{\tan^{-1}\frac{1}{9}}^{\tan^{-1}\frac{1}{4}}\sin^2\theta\cos^2\theta (504\csc^3(2\theta))\,d\theta $$ $$=\frac{504}{6}\int_{\tan^{-1}\frac{1}{9}}^{\tan^{-1}\frac{1}{4}}\frac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{8\sin^3\theta \cos^3\theta}\,d\theta=\frac{504}{24}\int_{\tan^{-1}\frac{1}{9}}^{\tan^{-1}\frac{1}{4}}\csc(2\theta)\,d\theta$$ $$=\boxed{21\ln\left(\frac{3}{2}\right)}$$

Answer 3

EDIT: La primera parte es el cálculo del área B, la segunda parte es la integración de la función $f(x,y)$ en la zona B.

La intersección de $y_1=\frac x4$ con $y_2=\frac4x$ está en $x=4,y=1$ .

La intersección de $y_3=\frac x9$ con $y_4=\frac 1x$ está en $x=3,y=1/3$ .

Así que el área viene dada por:

$$B=\int_{2}^{4}y_1(x) dx+\int_{4}^{6} y_2(x) dx-\int_{2}^{3}y_4(x) dx-\int_{3}^{6} y_3(x) dx$$ $$=\int_{2}^{4}\frac x4 dx+\int_{4}^{6} \frac4x dx-\int_{2}^{3}\frac 1x dx-\int_{3}^{6} \frac x9 dx=\ln\left(\frac{27}{8}\right)$$

EDITAR: Ahora añado la parte de la integración de la función $f(x,y)$ en la zona B.

$$\int\int_B f(x,y)dxdy=\int_{2}^3x^2 \left(\int_{y_4(x)}^{y_1(x)} y^2 dy\right)dx+\int_{3}^4x^2 \left(\int_{y_3(x)}^{y_1(x)} y^2 dy\right)dx+\int_{4}^6 x^2 \left(\int_{y_3(x)}^{y_2(x)} y^2 dy\right)dx=21\ln(3/2)$$