Mostrar que ambas derivadas parciales mixtas existen en el origen, pero no son iguales

Question

$$f(x,y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} & \text{if } (x,y) \neq (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases}$$

He intentado encontrar ambas derivadas parciales mixtas pero terminan siendo el mismo para esa función. Yo debo no tomando en cuenta algo con el hecho de que es piece-wise. Necesito demostrar que existen las derivadas parciales mixtas. ¿Cómo puedo hacer todo esto?

Answer 1

Utilice la definición de derivada parcial: $$ f_x(0,0) ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)} h ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{\frac{h\cdot 0(h^2-0^2)}{h^2+0}-0} h ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{0}{h} ~=~ 0 $$ Un cálculo similar muestra que $f_y(0,0)=0$, $(0,0)$ es un punto crítico (es decir,$\nabla f(0,0)=\binom 00$).

EDITAR

Ahora que conocemos los valores de$f_x(0,0)$$f_y(0,0)$, se puede calcular el $f_{xy}(0,0)$$f_{yx}(0,0)$: $$ f_{xy}(0,0) ~=~ \lim_{k\to 0} \frac{f_x(0,k)-f_x(0,0)}k ~=~ \lim_{k\to 0} \frac{f_x(0,k)}k $$ y $$ f_{yx}(0,0) ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}h ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{f_y(h,0)}h $$ En primer lugar, tenga en cuenta que para $(x,y)\neq(0,0)$ $$ f_x(x,y)=\frac{y\big(x^4+4x^2y^2-y^4\big)}{\big(x^2+y^2\big)^2} $$ y $$ f_y(x,y)=\frac{x\big(x^4-2x^2y^2-y^4\big)}{\big(x^2+y^2\big)^2} $$ así que para $h,k\neq 0$ $$ f_x(0,k)=-k \quad\text{y}\quad f_y(h,0)=h $$ Poniendo todo junto: $$ f_{xy}(0,0) ~=~ \lim_{k\to 0} \frac{f_x(0,k)}k ~=~ \lim_{k\to 0}\frac {k}{k} ~=~ -1 $$ y $$ f_{yx}(0,0) ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}h ~=~ \lim_{h\to 0} \frac{f_y(h,0)}h ~=~ \lim_{h\to 0}\frac{h}{h} ~=~ 1 $$ así $$ f_{xy}(0,0)~=~-1 ~~\neq~~ 1~=~f_{yx}(0,0) $$

Answer 2

Vea aquí la sugerencia.

Problema de la derivada parcial