Esta es hasta ahora la más ingenua de mis preguntas.
Funciones modulares débiles de peso $2k$ corresponden a $k$ -forma en $X(1)$ ¿cierto? Pero $X(1)$ es una curva. Así que no debería haber ninguna $k$ -formas para $k\geq 1$ o tal vez $2$ ?
Respuesta
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No sé exactamente cómo funcionan estos objetos de forma rigurosa, pero he aquí una explicación formal. Tenemos expresiones de la forma $f(z) dz$ donde $f$ es una función meromorfa en el semiplano superior, y nos gustaría pensar en ellas como formas diferenciales meromorfas. Bajo un automorfismo $g : \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ se transforman como
$$f(z) dz \mapsto f(gz) g' dz.$$
Escribir $g = \frac{az + b}{cz + d} \in \text{PSL}_2(\mathbb{R})$ obtenemos $g' = \frac{ad - bc}{(cz + d)^2} = \frac{1}{(cz + d)^2}$ por lo que, en particular, una forma modular meromórfica de peso $2$ es lo mismo que una de estas expresiones.
De forma más general podemos hablar de expresiones de la forma $f(z) (dz)^k$ para $k > 1$ en un sentido puramente formal: no estamos pensando en productos de cuña ni nada por el estilo. De todos modos, estas nuevas expresiones de fantasía se transforman como
$$f(z) dz \mapsto f(gz) g'^k (dz)^k$$
por lo que son lo mismo que las formas modulares meromórficas de peso $2k$ .
En un lenguaje riguroso, los objetos que estamos considerando son "secciones de potencias tensoriales del haz canónico en $X(1)$ "; los objetos que hemos descrito no son formas diferenciales en el sentido habitual (que son secciones de exterior potencias de un bulto).
