¿Multivariable de Epsilon-Delta Poof?

Question

Estoy perdido en este problema:

Indique si el siguiente límite existe y lo demuestran:

$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sqrt[2]{|x|}y}{x^2+y^2} $$

Todos los ejemplos en clase que se usa el $\epsilon$ - $\delta$ la prueba técnica. Todavía me estoy acostumbrando a esta prueba técnica y entiendo lo $\epsilon$ $\delta$ representan, pero no sé cómo empezar (o terminar) $\epsilon$ - $\delta$ pruebas.

Lo que yo sé: Tratando de demostrar $\forall\epsilon>0, \exists \delta \ such \ that \ |\sqrt[2]{x^2+y^2}|<\delta \implies |\frac{\sqrt[2]{|x|}y}{x^2+y^2}-?|<\epsilon$

Preguntas específicas: ¿Cómo debo proceder con la prueba en caso de no sé qué ? es? ¿Qué $|f(\mathbf x)-\mathbf a|<\epsilon$ significa que en un caso multivariable? ¿Qué son las condiciones generales del $\epsilon$ - $\delta$ prueba las técnicas?

Yo creo que si me pueden averiguar este problema puedo averiguar el resto.

Answer 1

Con multivariable de los límites, la cosa a recordar es este: el límite sólo puede existir si la ruta de acceso de límites a lo largo de todos los caminos existen y son iguales, en cuyo caso la multivariable en el límite y la ruta de los límites de acuerdo.

Así, para encontrar su "?", empieza por tomar un camino límite. Por ejemplo, a lo largo de la línea de $y=x$, tenemos $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{\lvert x\rvert}x}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{\lvert x\rvert}}{2x} $$ Pero este límite no existe! Se aproxima $(0,0)$ a lo largo de $y=x$ $x<0$ obtener $-\infty$, y acercándose $(0,0)$ a lo largo de $y=x$ $x>0$ obtener $\infty$.

Así, usted necesita para cambiar de aquí: usted necesita demostrar que el límite no existe!