Clasificación de topos de la teoría algebraica de

Question

Dada una expresión algebraica/teoría ecuacional $T$, vamos a $\mathcal{B}(T)$ ser la clasificación de los topos de $T$, considerada como la categoría de presheaves en la categoría de finitely presentable modelos de $T$ en los Sets.

Dado un cocomplete topos $\mathcal{E}$ $T$modelo $M$$\mathcal{E}$, obtenemos un correspondiente se determina únicamente (hasta el isomorfismo) geométrica de morfismos $p_M : \mathcal{E} \to \mathcal{B}(T)$ tal que $p_M^*(U_T) \cong M$ donde $U_T$ es el modelo universal de $T$$\mathcal{B}(T)$.

Mi pregunta es, ¿alguien ha calculado una descripción explícita de este geométrica de morfismos $p_M : \mathcal{E} \to \mathcal{B}(T)$ correspondiente al modelo de $M$, por buscar a través de todas las equivalencias en la prueba de que $\mathcal{B}(T)$ (como se define más arriba) es la clasificación de los topos de $T$? I. e. dado un presheaf $F$ en la categoría de finitely presentaron modelos de $T$ en los Sets, no sabemos cuál es el objeto de $p_M^*(F)$$\mathcal{E}$?

Answer 1

Yo creo que es básicamente sencillo, aunque no he comprobado lo siguiente.

Deje $C$ ser el de la categoría de finitely presentado álgebras. A continuación, $p_M$ corresponde a una izquierda functor exacto $L : C^\circ \to \mathcal{E}$.

Dejando $F_n$ ser el libre álgebra en $n$ elementos, el conjunto se establecen básicamente por $L(F_1) = M$.

Desde $F_n$ es el subproducto de $n$ copias de $F_1$,$L(F_n) = M^n$.

El recuerdo de álgebra universal de que un elemento de $\hom(F_1, F_n)$ es la misma cosa como un elemento de $F_n$, que es la misma cosa como un $n$-ary operación. Por lo tanto, para $f : F_1 \to F_n$, $L(f) : M^n \to M$ es el correspondiente $n$-ary operación.

Más generalmente, $\hom(F_m, F_n) = \hom(F_1, F_n)^m$, por lo que para $f : F_m \to F_n$, $L(f) : M^n \to M^m$ es sólo un $m$-tupla de $n$-ary operaciones.

El resto de finitely presentado álgebras son dadas por coequalizers correspondiente a las relaciones de la afirmación de varios pares de las operaciones de la misma. $L$ que se aplica a un álgebra da el ecualizador definir el subobjeto de tuplas que tienen el mismo valle.

Por último, los objetos de $\mathcal{B}(T)$ son colimits de las cosas en $C^\circ$, e $p_M^*$ mapas colimits a colimits.