El área encerrada por la gráfica de $13x^2-20xy+52y^2+52y-10x=563$.

Question

Hallar el área encerrada por la gráfica de $13x^2-20xy+52y^2+52y-10x=563$.

Primero vi que este no puede ser un círculo ($xy$ plazo), y no puede ser una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas. Pero por supuesto, es una figura cerrada. Traté de factor como una suma de los cuadrados igual a cero, pero esto no funcionó. Mediante la conexión a W|A me parece que es una elipse con lados no paralelos a los ejes de coordenadas, pero centrado en el origen. En primer lugar, no tengo idea de deducir que simplemente mediante la manipulación de la ecuación algebraica (a menos que sepa la forma general de las elipses no necesariamente paralelas a los ejes de coordenadas). Espero que alguien pueda decir sin dar un ad hoc explicación. Segundo, aun sabiendo que la figura es una elipse, aún no sé cómo determinar los ejes mayor y menor (pero a partir de ahí su fácil mediante el área es igual al $\pi a b$).

Answer 1

Podemos escribir la ecuación cuadrática parte de la siguiente manera:

$$13x^2 - 20xy + 52y^2 = \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}13 & -10 \\ -10 & 52\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$$

Por la elección de un cambio de coordenadas que diagonalizes esta matriz, podemos transformar cualquier ecuación como esta en una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas.

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Podemos encontrar una solución como sigue: conjunto de $x' = x-a$, $y'=y-b$, enchufe y elija $a,b$, de modo que los términos lineales desaparecer. Como Jonas menciona en su comentario, esto nos da la $(a,b) = (0,1/2)$, y la ecuación:

$$13x'^2 -20x'y' + 52y^2 = 576$$

La ecuación de $x''^2 + y''^2 = 576$ es un círculo de área $576\pi$. Por lo que la ecuación anterior límites de una región de área $576\pi / \sqrt{\operatorname{det} A} = 576\pi / 24 = 24\pi$.

Más concretamente (y con menos de álgebra lineal necesarios), podemos escribir la $ux^2 + vxy + wy^2 = u(x+\frac{v}{2u}y)^2 + (w - \frac{v^2}{4u})y^2$, por lo que podemos calcular el factor de escala directamente como $\sqrt{u(w-\frac{v^2}{4u})} = \sqrt{uw-\frac{v^2}{4}}$ (en este caso, $24$).

Answer 2

Tenga en cuenta que puede volver a escribir esto, con un poco de trabajo, como $$4(x+2y+1)^2+9(-x+2y+1)^2=576=24^2$$

Si ponemos $X=x+2y$ $Y=-x+2y$ el determinante de la transformación es $4$ y obtenemos $$\frac {(X+1)^2}{12^2}+\frac {(Y+1)^2}{8^2}=1$$ as a transformed ellipse with its axes parallel to the new co-ordinate axes. The new ellipse has major/minor axes of lengths $12$ and $8$ and area $\pi\times 12\veces 8=96\pi$. The original ellipse has area one quarter of this i.e. $24\pi$.

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Cómo volver a escribir, simplemente me hackeado por igualando los coeficientes de la forma $(ax+by+c)^2+(dx+ey+f)^2$. Esto me llevó menos de diez minutos en el papel, y es, sin duda primaria

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También habría sido posible desplazar el origen primero en la forma simétrica $$13x^2-20xy+56y^2=576$$Then you want $$(ax+by)^2+(cx+dy)^2=13x^2-20xy+56y^2$$

Por lo $a^2+c^2=13, b^2+d^2=56, ab+cd=-10$

Así que ir a por $a=\pm 2$ $c=\pm 3$ y spot $2\cdot 4-3\cdot 6=-10$, de modo que podemos reescribir como $$(2x+4y)^2+(-3x+6y)^2$$, que es básicamente lo que hice, y la aritmética a partir de ahí es esencialmente el mismo.

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En el determinante de la transformación, que es simplemente una matriz de determinante. Escribimos $$\begin{bmatrix}X \\ Y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ -1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$$

El determinante de la matriz es $1\times 2-2\times -1=4$. El factor determinante en dos dimensiones que ofrece el factor de escala para el área (en tres dimensiones sería volumen, etc).

Answer 3

Primero de todos, la curva es claramente un no-degenerada cónica o de lo contrario no vamos a estar encontrando su área. En la ecuación de una cónica si el coeficiente de $xy$ $2h$ $x^2$ $p$ e de $y^2 $$q$, entonces la regla es que si $h^2<pq$, entonces es una elipse, que lo es.

El centro de una cónica representada por la ecuación de $ax^2+by^2+2hxy+2gx+2fy+c=0$ está dado por $C\equiv \left(\dfrac{hf-bg}{ab-h^2},\dfrac{hg-af}{ab-h^2}\right)$ que en este caso es $C\equiv\left(0,\dfrac{-1}{2}\right)$

Prueba:Vamos a la cenre ser en $(x_0,y_0)$. Entonces la ecuación de diámetro paralelo al eje de las X es $y=y_0$, y la sustitución de que en la ecuación de la cónica llegamos $ax^2+(2hy_0+2g)x+by_0^2+2fy_0+c=0$. Si $x_1$ $x_2$ son las raíces de esta ecuación, entonces el centro de la coordenada X es $$x_0={x_1+x_2 \over 2}={-g-hy_0\over a}\implies ax_0+hy_0+g=0\tag{i}$$ Un procedimiento similar con el diámetro de la $x=x_0$ da $$by_0+hx_0+f=0\tag{ii}$$ La solución de (i) y (ii) da el resultado.

Ahora tomar cualquier racionales punto en la elipse, dicen, $P\equiv\left(4,\dfrac{-5}{2}\right)$. La ecuación del diámetro de la $CP$$x+2y+1=0$.

Una propiedad útil de las elipses:La tangente en el punto final de un diámetro paralelo a su conjugado de diámetro.

La ecuación de la tangente en el punto de $P$ se encuentra por el método estándar y la pendiente de la tangente funciona como $\dfrac{1}{2}$, que también debe ser la pendiente del diámetro conjugado de a $CP\implies$ la ecuación de diámetro conjugado $CD$$x-2y-1=0$.

Tomando la intersección de la línea de $CD$ y la elipse se obtiene el punto de $D\equiv\left(6,\dfrac{5}{2}\right)$.

La ecuación de la normal en $P$ se encuentra fácilmente y es $4x+2y-11=0$. El pie de la perpendicular desde el centro de la $C$ a la normal, es simplemente la intersección de la normal y de la línea de $CD\implies$ $F\equiv\left(\dfrac{12}{5},\dfrac{7}{10}\right)$

Otra propiedad útil de las elipses: Vamos a $F$ ser el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la $C$ a la normal trazada en el punto de $P$ sobre la elipse. Deje $D$ ser el extremo del diámetro conjugado para el diámetro de la $CP$. A continuación, $PF.CD$ es igual al producto de las longitudes de los semi ejes.

Dijo anteriormente propiedad de la elipse dice que $PF.CD=ab$. Ahora solo uso la fórmula de la distancia . $PF$ es $\dfrac{8}{\sqrt5}$ $CD$ funciona como $3\sqrt5$. Esto le da al área=$\color{red}{24\pi}$

La prueba de la propiedad: Considerar el estándar de la elipse $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ y el punto de $P$ con ángulo excéntrico $\theta$ y dibujar lo que sea necesario. La ecuación de la tangente en a$P$$bx\cos\theta+ay\sin\theta=ab$. Desde la distancia $PF$ es simplemente la distancia de la recta tangente desde el punto de origen es fácilmente calculada a ser $\dfrac{ab}{\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}$. Desde el punto de $D$ está en el extremo de un semi-conjugado de diámetro, su excéntrico ángulo es $\dfrac{\pi}{2}+\theta$, por lo que la distancia $CD$ es simplemente $\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}$. Ahora multiplica los dos. La raíz cuadrada plazo se cancela y esto completa la prueba.

Answer 4

Si usted mira de cerca a W|A del gráfico , se verá que no está realmente centrada en el origen, sólo cerca de ella. Si se centra en el origen sería simétrica con respecto al origen, y la sustitución de $x$ $-x$ $y$ $-y$ daría la misma ecuación, pero no lo hace.

Puedo ver dos formas de solucionar este problema, no ad-hoc. En primer lugar, hacer la rotación que @ADG dio en su primera respuesta. (Que técnica utiliza un cambio de variables para rotar los ejes por el ángulo de $\theta$ que satisifies $\tan 2\theta=\frac{B}{A-C}=\frac{-20}{13-52}=\frac{20}{39}$). Como @ADG dijo que será complicado, pero sin duda el trabajo (si no me equivoco).

Otra manera es usar la fórmula cuadrática para resolver por $y$ en términos de $x$. Esto le dará un rango de posibles valores de $x$ y dos valores de $y$ tales $x$'s, una inferior y una superior. Usted podría hacer una parte integral de la diferencia de $y$ valores entre la limitación de $x$ valores. Habrá algún tipo de cancelación en la diferencia de $y$ de los valores, por lo que terminan haciendo la integral de la raíz cuadrada de un polinomio cuadrático. De antemano que esta parece ser difícil, pero no parece ser suficiente cancelación que esto no puede ser un mal método.

Si le ayuda, usted podría utilizar el discriminante de la ecuación para ver si es una elipse. En el caso de que el discriminante es $(-20)^2-4*13*52=-2304$. Esto es negativo, por lo que la gráfica es de hecho una elipse. Esta es la norma y no ad hoc.

Por el camino, W|A dice que la zona es $24\pi$ y parece que usa mi segunda sugerencia, utilizando la fórmula cuadrática y la integración.

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Aquí están algunos detalles de la fórmula cuadrática y enfoque de integración:

Reorganizar la ecuación para obtener

$$52y^2+(-20x+52)y+(13x^2-10x-563)=0$$

La solución de este para $y$ usando la fórmula cuadrática y la simplificación,

$$y=\frac{5x-13\pm12\sqrt{52-x^2}}{26}$$

Claramente $x$ pistas de$-\sqrt{52}$$\sqrt{52}$. La zona que queremos es

$$\int_{-\sqrt{52}}^{\sqrt{52}}(y_2-y_1)\,dx$$ $$=\int_{-\sqrt{52}}^{\sqrt{52}}2\frac{12\sqrt{52-x^2}}{26}\,dx$$ $$=\frac{6}{13}\int_{-\sqrt{52}}^{\sqrt{52}}2\sqrt{52-x^2}\,dx$$

La integral es el área del círculo con un radio de $\sqrt{52}$, por lo que tenemos

$$\frac{6}{13}\cdot 52\pi$$ $$=24\pi$$

De ahí, que no era tan malo! (A pesar de que he cometido un error la primera vez que hice el cálculo y la escribía.)

Answer 5

$$13x^2-20xy+52y^2+52y-10x=563$$

Como $(-20/2)^2<13.52$ $$\left|\begin{matrix}13&-20/2&-10/2\\-20/2&52&52/2\\-10/2&52/2&-563\end{matrix}\right|<0$$ Ambos de los cuales iff "de la ecuación de una elipse" Por diferenciación parcial del centro es $(0,-1/2)$, es decir, la resolución de $26x-20y-10=0,-20x+104y+52=0$. Después del cambio de nuestro origen a ese punto, obtenemos usando coordenadas polares (todos los términos de $x,y$ será eliminado.) y el uso de doble ángulo de fórmulas: $$r^2=\frac{576}{13\cos^2\theta+52\sin^2\theta-20\sin\theta\cos\theta}=\frac{2.24^2}{65-(39\sin2\theta-20\sin2\theta)}$$ Utilizando el hecho de que $|a\cos\theta+b\sin\theta|\le\sqrt{a^2+b^2}$ podemos obtener: $$r_{\rm max}=\frac{24\sqrt2}{\sqrt{65-\sqrt{1921}}},r_{\rm min}=\frac{24\sqrt2}{\sqrt{65+\sqrt{1921}}}\implies A=\pi r_{\rm max}r_{\rm min}=\pi\frac{24^2.2}{\sqrt{65^2-1921}}=24\pi$$