En este tipo de problemas es importante que usted lea específicamente a que la información es dada a usted y cual es el problema. Así que vamos a empezar con la cesión 1.
La probabilidad de que Andrew está todavía vivo - vamos a llamar a ese $P(A)$ y la probabilidad de que Ellen aún está vivo es $P(B)$.
Lo que estamos buscando es el caso de que ambos todavía están vivos, por lo que ambos eventos ocurran simultáneamente, a la que llamamos $A \cap B$.
Como se señaló, dicen que estos eventos son independientes. Lo que significa:
Por definición, la probabilidad de este evento es
$P(A \cap B) = P(A) * P(B) $
Así que uno de su pregunta era, cómo se relaciona con el diagrama de Venn?
Así, la independencia no es fácilmente evidente en el venn diagramm. Un diagrama de Venn necesita mirar de cierta manera si no es la independencia, pero incluso si se ve de esa manera sólo saben que los eventos son independientes si el conjunto de problemas diga! Esto es un poco complicado, pero quédate conmigo.
Si quieres dibujar un diagrama de Venn para este primer ejercicio, se observa que:
$$P(A \cap B) / P(A) = P(B) / 1$$
Que es el mismo que
$$P(A \cap B) / P(A) = P(B) / P(\Omega)$$
En esencia, esto significa que la posibilidad de "golpear" $B$ si usted ya está en $A$ es la misma que la probabilidad de acertar $B$ en el primer lugar - o dicho de otra manera - no importa si usted golpea $A$ - la posibilidad de golpear $B$ es siempre la misma.
Si $P(A)$ fue del 0,5, entonces la probabilidad de a $A \cap B$ tendría que ser el 50% del tamaño de $A$.
Sólo entonces pueden los eventos independientes.
Intentar sacar de esto, es un buen ejercicio.
También son conscientes de que si el tamaño de $A \cap B$ es cero en el diagrama de Venn, a continuación, los eventos no pueden ser independientes? Piense acerca de por qué.
A partir de este punto tal vez usted quiere dibujar diagramas de Venn como usted siga a lo largo.
Bien hasta ahora tan bueno. Ahora vamos a ver qué acerca del problema de los dos?
Bueno en primer lugar, tenga en cuenta que estos eventos no son independientes. Usted está, de hecho, dada dada la probabilidad de que ambas luces son de color rojo, al mismo tiempo, y esta probabilidad no se ajusta a lo que usted sabe acerca de la independencia.
Para ver la diferencia con el primer ejemplo, vamos a ver lo que puede suceder en esa intersección.
Queremos saber cuando ambas luces son de color verde. ¿Cuál es el complemento de este evento? NO se trata de "dos luces son de color rojo". De hecho, los dos eventos complementarios son:
- Ambas luces son de color verde
- Al menos una luz roja
Es la opción 1 o la 2. La opción 1 es lo que estamos buscando. Si podemos calcular la probabilidad de la opción 2, entonces sabemos que la opción 1 es el complemento/enfrente de ella, a la derecha? Así que vamos a averiguar evento 2.
Bueno, ¿por qué hay otra probabilidad dado en la tarea? Bien pensar: Caso 2 puede ser descrito de manera diferente.
- La primera luz puede ser de color rojo, que nos llame a esta $A$
- La segunda luz puede ser de color rojo, vamos a llamar a esto $B$
Bueno por lo que este es, probablemente, donde están ahora. Las probabilidades de estos dos eventos, vamos a llamarlos $P(A)$$P(B)$: $.4$ $.3$
También sabemos que:
- La primera y la segunda luz son de color rojo en el mismo esta - este es $A \cap B$ : $.1$
¿Cómo encaja esto juntos?
Bien $A$ $B$ no son suficientes para calcular cuando ambas luces son de color verde (caso 1), porque vamos a necesitar el segundo caso - que hemos denominado: "la luz es roja" y, a continuación, tomar su complemento (ya di cuenta de esto).
Ahora - ¿por qué no podemos multiplicar las probabilidades? Primero: porque no son independientes. La multiplicación de la regla no puede ser utilizado debido a que la proporción de $A \cap B$ a $A$ o $B$ no es como era en el primer ejemplo.
Segundo: Porque incluso si fueran independientes, entonces la multiplicación nos da el caso de $A \cap B$ - en el caso de que ambos ocurren al mismo tiempo. Pero queremos que el evento de que la luz es de color rojo.
Vamos a pensar acerca de cómo este evento también puede ser descrito.
El nombre que está buscando es $A \cup B$.
¿Qué incluye?
$A \cup B = $
-Luz $A$ puede ser de color rojo Y la luz de $B$ puede ser de color rojo. Vamos a llamar a esta $A \cap B$ (tenemos esto!)
-Luz $A$ puede ser de color rojo y la luz de $B$ pueden ser de color verde. Esto se llama $A \cap \neg B$
-Luz $A$ pueden ser de color verde y la luz $B$ puede ser de color rojo. Esto se llama $\neg A \cap B$
(el $\neg$ significa negación o complemento)
Así que el problema es que tenemos $A$$B$$A \cap B$, pero no las probabilidades de la luz son el rojo, mientras que el otro es verde, $A \cap \neg B$ $\neg A \cap B$
Para hacer este corto, aquí es donde se aplica el aditivo de la regla.
Usted puede ver fácilmente por qué si nos fijamos en sus diagramas de Venn. La diferencia entre el $A$ $A \cap \neg B$ es lo que?
Bueno, es la parte de la intersección, $A \cap B$$A$.
Lo mismo va para $B$. Así, si añadimos $A$ $B$ en lugar de $(A \cap \neg B)$$(\neg A \cap B)$, hemos añadido dos cosas demasiado. Primero: la parte de la intersección que se encuentra en $A$, y la segunda: la parte de la intersección que se encuentra en $B$.
Vaya por delante y trazar esta en tus círculos.
Lo que queremos ver es: ¿Cuál es la diferencia entre $$A+B$$ and $$(A \cup B) = (A \cap B) + (A \cap \neg B) + (\neg A \cap B)$$ ?
Bueno, la diferencia es exactamente una vez a la intersección. Así que para obtener la probabilidad de que nuestro evento "Al menos una luz roja", todo lo que tenemos que hacer es añadir $P(A)$ $P(B)$ y restar la intersección $P(A \cap B)$ y tenemos $$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A \cup B)$$
Bien y esto es lo mismo que "Al menos una luz roja". Y ¿qué es lo contrario de esto? "Ambas luces son de color verde" - la solución al problema.
