Si $m^4+4^n$ es primo, entonces $m=n=1$ o $m$ es impar y $n$ incluso

Question

Se me ha atascado en esto durante meses, realmente sencillo de estado, realmente me da problemas.

Mostrar que si $m^4 + 4^n$ es el prime, $m>0$, $n>0$, a continuación, $m$ es impar y $n$ es uniforme, excepto cuando se $m=n=1$.

El caso de $m=n=1$ da $5$, es por ello que es excluido. Claramente $m$ es impar, pues si lo fue, incluso, el número será divisible por, al menos,$4$, pero me parece que no puede deshacerse de la caja donde $n$ debe ser impar.

La única cosa que he conseguido hacer es intentar escribir $m$ como un número impar, decir $m = 2k+1$, e $n = 2\ell + 1$, a continuación, obtener $$ m^4 + 4^n = (2k+1)^4 + 4^{2\ell+1} = 16k^4 + 32 k^3 + 24k^2 + 8k + 1 + 4^{2 \ell + 1} $$ y esto es congruente a $0 \mod 5$ si $k \equiv 2 \mod 5$, y ahora se le da una aún más feo polinomio si escribo $k = 5j+2$, y no funciona. He probado otras concluyentes enfoques, como tratando de ver si dos números de una cierta forma de generar números de la misma forma.. (por ejemplo, los números primos de la forma 8k+1 y 8k+7 siempre generar números primos de la misma forma cuando se multiplican juntos, cosas así).

Alguna idea? Incluso acaba de ideas que no dio una idea... bienvenido sea!

Answer 1

Si $m$ incluso entonces, evidentemente, es divisible por $2$ y ya es mayor que $2$, por lo que no prime. Ahora si $n$ extraño, por decir $n=2k+1$. A continuación, puede ser escrito como $m^4+4.(2^k)^4$, lo que, por Sophie Germain Identidad no es un primo de $m,n>1$.

Answer 2

Oh mi dios. Nunca he visto a nadie en realidad hacer eso, pero la respuesta es tan barato que casi me dan ganas de borrar mi propia pregunta. No sé por qué me tomó tanto tiempo para encontrar la respuesta. Voy a salir de allí y ver si alguien tiene algo bueno que decir acerca de esto. Todavía estoy abierto a nuevas respuestas originales.

Si $n$ es impar, escribir $2k+1$, por lo que

\begin{align} m^4 + 4^{2k+1} & = m^4 + 2 \cdot 2^{2k+1} \cdot m^2 + 4^{2k+1} - 2 \cdot 2^{2k+1} \cdot m^2 \\\ & = (m^2 + 2^{2k+1})^2 - (2^{k+1}m)^2 \\\ & = (m^2 + 2^{2k+1} - 2^{k+1}m)(m^2 + 2^{2k+1} + 2^{k+1}m) \\\ \end{align} que está compuesto, a menos $k=0$ (por encima dice $m$ debe ser impar), y en este caso se excluyen.