Encontrar un valor real de $p$

Question

Estoy un poco confuso a la hora de enfocar este problema,

Sea $g(x)$ sea una función tal que $g(x + 1) + g(x 1) = g(x)$ para cada real $x$ . Entonces, ¿para qué valor de p es la relación $g(x + p) = g(x)$ n cierto para cada $x$ ?

Las cuatro opciones que se ofrecen son $5,3,2 \text{ and } 6$ Por favor, explique su respuesta.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$g(x+1) = g(x)-g(x-1)$$ para todos $x$ .

Así que $g(x+2) = g((x+1)+1) = g(x+1)-g(x) = g(x)-g(x-1)-g(x) = -g(x-1)$ . Sustitución de $x$ con $x+1$ obtenemos $g(x+3)=-g(x)$ para todos $x$ .

Así que $g(x+6) = -g(x+3) = -(-(g(x))) = g(x)$ . Así que la respuesta es $6$ .

(Ya teníamos ese $2$ no funciona; si quieres ver por qué $5$ no funciona, tenemos $g(x+5) = -g(x+2) = -(-g(x-1)) = g(x-1)$ ).