Demostrar que la ecuación de $\cos(\sin x)=\sin(\cos x)$ no tiene soluciones reales.

Question

El siguiente problema fue en una competencia de matemáticas que he participado en mi escuela hace un mes:

Demostrar que la ecuación de $\cos(\sin x)=\sin(\cos x)$ no tiene soluciones reales.

Voy a describir mi prueba a continuación. Creo que tiene algunos agujeros. Mi enfoque para el problema era que las siguientes ecuaciones tiene solución real(s) si la ecuación anterior tiene solución(s):

$$ \cos^2(\sin x)=\sin^2(\cos x)\\ 1-\cos^2(\sin x)=1-\sin^2(\cos x)\\ \sin^2(\sin x)=\cos^2(\cos x)\\ \sin(\sin x)=\pm\cos(\cos x)\\ $$

Luego procedí a dividir en los casos y uso de la identidad $\cos t = \sin(\frac{\pi}{2} \pm t\pm y2\pi)$ para obtener

$$ \sen x=\frac{\pi}{2} \pm \cos x\pm y2\pi\\ $$

y la identidad de $-\cos t = \sin(-\frac{\pi}{2}\pm t\pm y2\pi) $ para obtener

$$ \sen x=- \frac{\pi}{2}\pm \cos x \pm y2\pi.\\ $$

donde $y$ es cualquier entero. He argumentado que $y=0$ fue el único valor de $y$ que hizo ningún sentido (ya que los valores de seno y coseno entre $-1$$1$). Por lo tanto, las ecuaciones anteriores se convierten

$$ \sen x=\frac{\pi}{2} \pm \cos x\implica \sen x \pm \cos x=\frac{\pi}{2}\\ $$

y

$$ \sen x=- \frac{\pi}{2}\pm \cos x\implica \cos x\pm\sen x= \frac{\pi}{2}.\\ $$

Entonces, por un breve optimización de argumento, me mostró que estas dos últimas ecuaciones no tiene soluciones reales.

En primer lugar, hace que esta prueba de sentido? En segundo lugar, si la prueba tiene sentido, entonces siento que no es muy elegante ni sencillo. Es mi enfoque de los mejores, o el mejor (es decir, más elegante, más corto, más sencillo) prueba?

Answer 1

La función $$f(x):=\cos(\sin x)-\sin(\cos x)$$ es incluso y $2\pi$-periódico; por lo tanto, es suficiente con considerar el $x\in[0,\pi]$. Al $x=0$ o $x\in\bigl[{\pi\over2},\pi\bigr]$, entonces obviamente $f(x)>0$. Finalmente, cuando se $0<x<{\pi\over2}$ $\cos x$ $\sin x$ ambos se encuentran en el intervalo de $\ ]0,1[\ \subset\ ]0,{\pi\over2}[\ $. Por lo tanto, también tenemos $$\sin(\cos x)<\cos x<\cos(\sin x)\qquad\bigl(0<x<{\pi\over2}\bigr).$$

Answer 2

Posiblemente el-camino más corto para llegar allí sería escribir $$\cos (\sin x) - \sin(\cos x)=\cos (\sin x) - \cos(\pi/2-\cos x)$$ y, a continuación, utilizar una suma-a-la identidad del producto a su vez esta última expresión en: \begin{eqnarray} &&−2 \sin \left(\frac{\sin x + \pi/2 - \cos x}{2}\right)\sin\left(\frac{\sin x - \pi/2 + \cos x}{2}\right)\\ &=& −2 \sin \left(\frac{\pi/2 + \sqrt{2}\sin (x-\pi/4)}{2}\right)\sin\left(\frac{- \pi/2 + \sqrt{2}\sin (x + \pi/4)}{2}\right) \, . \end{eqnarray} Desde $\pi/2$ no está dentro de $\sqrt{2}$ de cualquier múltiplo de $2\pi$, esta última expresión nunca se desvanece; por lo tanto la ecuación no tiene soluciones reales.

(Realmente, esto es equivalente a su solución, excepto la que estamos externalización de muchos de los análisis de caso a identidades trigonométricas...)

Answer 3

Deje $a = \cos x$$b = \sin x$, y por lo $a,b \in [-1,1]$.

Tenemos que solucionar $\sin a = \cos b$.

Podemos suponer que $0 \le b \le 1$, ya que, si $x$ es una raíz, por lo que es $-x$.

Desde $\sin a = \cos b$$b \ge 0$, debemos tener la $a \ge 0$ (recuerde, $a,b \in [-1,1]$)

Por tanto, si la ecuación tiene raíces, al menos uno de ellos es tal que $x \in [0,\pi/2]$.

Está claro que $0, \pi/2$ no son las raíces. Así, podemos asumir $x \in (0, \pi/2)$.

Ahora $ \sin y \lt y$ todos los $y \in (0, \pi/2)$.

Por lo tanto $\cos (\sin x) \gt \cos x$ ($\sin x \lt x$$\cos $ está disminuyendo )

También tenemos $\cos x \gt \sin (\cos x)$ (con $\cos x = y \gt \sin y = \sin (\cos x)$).

Así tenemos que el $$\cos (\sin x) \gt \sin (\cos x), \quad x \in (0, \pi/2)$$

La contradicción, y la ecuación no tiene raíces reales.

Answer 4

$$\cos(\sin x)=\sin(\cos x)=\cos\left(\frac\pi2-\cos x\right)$$

$$\text{So}, \sin x=2n\pi\pm \left(\frac\pi2-\cos x\right)$$

$$\text{Taking the '+' sign,} \sin x=2n\pi+ \left(\frac\pi2-\cos x\right)\implies \sin x+\cos x=\frac{(4n+1)\pi}2$$ which can be $\cdots,-\frac{3\pi}2,\frac{\pi}2,\frac{5\pi}2,\cdots$

$$\text{Taking the '-' sign,} \sin x=2n\pi- \left(\frac\pi2-\cos x\right)\implies \sin x-\cos x=\frac{(4n-1)\pi}2$$ which can be $\cdots,-\frac{5\pi}2,-\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2,\cdots$

Ahora vamos, $1=r\cos\theta,1=r\sin\theta$ donde $r>0$

Por eso, $(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=1+1=2\implies r^2=2\implies r=\sqrt2$

$\sin x\pm\cos x=r\cos\theta\sin x\pm r\sin\theta\cos x=\sqrt2\sin(x\pm \theta)$

Por eso, $-\sqrt2\le \sin x\pm\cos x\le \sqrt 2 $

Ahora, $\sqrt 2<1.5<\frac\pi2$ $3<\pi$

$\implies -\sqrt 2>-\frac\pi2$

$\implies -\frac\pi2<-\sqrt2\le \sin x\pm\cos x\le \sqrt 2<\frac\pi2 $

Por lo tanto, no es real soultion

Answer 5

Después de pasar muchas horas tratando de encontrar las soluciones reales de la ecuación, aquí están las maneras de demostrar que no tiene soluciones reales que he encontrado:

Para $\sin(\cos(x))=\cos(\sin(x))$ para ser verdad, tanto en $\cos(x)$ $\sin(x)$ tiene que ser igual a $\frac{\pi}{4}$ desde $\cos(x)$ $\sin(x)$ tomar el mismo valor en este número. (Tenga en cuenta que estoy hablando acerca de los términos dentro del seno en la mano izquierda y el coseno en la mano derecha)

El primer paso para encontrar $x$ es establecer el siguiente sistema de ecuaciones: $$\cos(x)=\frac{\pi}{4}$$ $$\sin(x)=\frac{\pi}{4}$$

Sumamos ambas ecuaciones para obtener: $$\cos(x)+\sin(x)=\frac{\pi}{2}$$ Elevar ambos lados de la ecuación por el exponente 2 se obtiene: $$\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)+\sin^2(x)=\frac{\pi^2}{4}$$ Que puede ser reducido a $$1+2\cos(x)\sin(x)=\frac{\pi^2}{4}$$ $$1+\sin(2x)=\frac{\pi^2}{4}$$ La solución para $x$ obtenemos: $$x=\frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{\pi^2}{4}-1)$$ Lo cual es imposible de realizar ya que el valor dentro del seno inverso debe ser de entre $-1$ $1$ Sin embargo, otra manera de demostrarlo es mediante el uso de la identidad de $\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$, de modo que tenemos: $$\sin(\cos(x))=\sin(\sin(x)+\frac{\pi}{2})$$ $$\cos^2(x)-2\cos(x)\sin(x)+\sin^2(x)=\frac{\pi^2}{4}$$ Y al final tenemos: $$1-\sin(2x)=\frac{\pi^2}{4}$$ Que llevan a la misma conclusión como hemos hecho antes.

Y sin embargo, otra manera de demostrarlo es mediante la escritura de las ecuaciones de la siguiente manera: $$\sqrt{1-\sin^2(x)}=\sin(x)+\frac{\pi}{2}$$ Que es lo mismo que: $$\sin^2(x)+\frac{\pi}{2}\sin(x)+\frac{\pi^2-4}{8}=0$$ Realizando un cambio de variable $u=\sin(x)$: $$u^2+\frac{\pi}{2}u+\frac{\pi^2-4}{8}=0$$ Tanto las raíces del polinomio son complejas por lo que, de nuevo, no hay tal real $x$ que puede satisfacer la mencionada ecuación.