Un pacto infinito topológico grupo con sólo dos subgrupos cerrados

Question

Se puede demostrar todas las compactas infinito abelian grupo topológico $(A,\tau )$, $\tau$ trivial, tiene al menos tres distintos subgrupos cerrados.

Es allí cualquier compacto infinito no abelian grupo topológico $(G,\mathcal T)$, $\mathcal T$ no trivial, que tiene sólo dos subgrupos cerrados?

Answer 1

Supongo que el grupo es Hasdorff: otra manera de considerar el factor de grupo con respecto al cierre de $\{ 1\}$. Cerrado subgrupos del cociente se corresponden a cerrado subgrupos del grupo inicial.

Deje $G$ ser un no-abelian topológico de Hausdorff grupo. A continuación, para todos los $g \in G$ $$C_G(g) = \{ x \in G : xg=gx\}$$ es un subgrupo cerrado de $G$.

En particular, desde la $G$ no es abelian, no existe $g,h \in G$ tal que $gh \neq hg$. Por eso, $C_G(g)$ $C_G(h)$ son dos distintas cerrado no trivial adecuada subgrupos de $G$ (desde $g \in C_G(g) \setminus C_G(h)$$h \in C_G(h) \setminus C_G(g)$).

Así, parece que la $G$ tiene al menos 4 cerrado subgrupos.