$f(z)$ $f(z+z^2)$ tienen el mismo singularidades en 0

Question

Deje $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ ser una analítica de la función en un pinchazo en un barrio de 0$f(z)$ $h(z)=f(z+z^2)$ tienen la misma singularidad en $z_0=0$.

Yo era capaz de mostrar que cada extraíble singularidad o polo de $f$ también es el mismo de $h$. Sin embargo, yo era incapaz de hacerlo por la dirección opuesta o por una singularidad esencial (Casorati-Weierstrass teorema tal vez?)

Gracias de antemano

Answer 1

Esto se deduce del hecho de que el mapa $$ H:\Bbb C\rightarrow\Bbb C,\qquad z\mapsto z+z^2 $$ es un local de isomorfismo en $z=0$ porque $H^\prime(0)=1\neq0$.

Desde $H$ es un polinomio de grado 2 para cada punto de $z_0$ en el target de espacio hay genéricamente dos puntos $w_1$, $w_2$ cada uno de los cuales tiene un barrio que es asignada por $H$ isomorphically en un barrio de $z_0$. Para todos esos puntos, tirando hacia atrás de holomorphic funciones no cambia sus propiedades locales (tales como la orden de un cero o un poste).

La excepcional puntos de la ramificado puntos, es decir, aquellos para los que el mapa no ser una analítica isomorfismo localmente. En el caso de $H$ el único ramificado punto es $z_0=-1/4$ como puede ser reconocido a la observación de que $H(-1/2)=-1/4$ $H^\prime(-1/2)=0$ o, posiblemente, más simplemente, observando que el $k=-1/4$ es el único valor que $z^2+z-k$ tiene una doble raíz.

Ya que de nuevo $H$ tiene grado 2, el ramifica a punto de $z_0=-1/4$ debe tener el índice de ramificación 2, es decir, cuando se tira de la espalda holomorphic funciones a lo largo de $H$ los pedidos de los polos o cero en $z_0=-1/4$ multiplicado por 2 en $w_0=-1/2$.

Answer 2

Déjame ver si tengo esta recta ya que creo que es bastante simple: como $\;f\;$ es analítica en un barrio de cero (un pinchazo en un uno supongo, de lo contrario, la función del anayltic a cero), entonces tenemos una Laurent serie de $\;f\;$ cero:

$$\forall\; 0<|z|<r\;,\;\;\;f(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_nz^n$$

donde el número de no-cero de los coeficientes negativos de índice puede ser infinito (esencial sing.), finito distinto de cero (polo) o cero (analicity punto de mineral extraíble singularidad). Pero esto es sólo el mismo para

$$f(z+z^2)=f\left(z(1+z)\right)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_kz^k(1+z)^k$$

mientras $\,0<|z+z^2|=|z||1+z|<r\;\ldots$

y esto significa, creo, el tipo de punto cero es sigue siendo el mismo en ambos casos.