La separación de puntos en el plano mediante un conjunto compacto que no está permitido para intersecar un conjunto dado Una

Question

Supongamos $A\subset \mathbb{R}^2$ es cerrado y totalmente desconectado, y supongamos $a,b \in A$. Es posible encontrar un subconjunto compacto $C$ de el avión, que es disjunta de a $A$, y que separa a $a$$b$? (Es decir, $a$ $b$ están en los diferentes componentes de $\mathbb{R}^2-C$.)

Si $A$ no tiene otros puntos de $a$$b$, se podría dejar el $C$ ser un círculo alrededor de $a$, de modo que $b$ está en el exterior. Pero si $A$ tiene más puntos, el círculo confluyen ellos, por lo que una opción diferente.

Podemos asumir para este problema, que si $U$ está conectado conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$, $U-A$ también está conectado. Si eso ayuda.

Este problema surgió mientras estaba tratando de probar este que he presentado anteriormente.

Answer 1

Ok, he aquí una oportunidad.

Tenga en cuenta que es suficiente para encontrar una separación de $A$ de la forma $A \subset U \cup V$ donde $U,V$ están abiertas, $U \cap V = \emptyset$, $a \in U$, $b \in V$, y $U$ es precompact. Si es así, entonces $C = \partial U$ va a satisfacer nuestro propósito. (Verificar!) El precompactness de $U$ es la única parte difícil aquí.

Deje $W$ ser un precompact barrio de $a$$b \notin \bar{W}$. Para cada una de las $x \in A \cap \partial W$, por el total de la desconexión se puede escribir $A \subset U_x \cup V_x$ donde $U_x, V_x$ están abiertos y disjuntos, $a \in U_x$, e $x \in V_x$. El $V_x$ es una cubierta abierta de a $A \cap \partial W$, por lo que podemos encontrar una finito subcover $V_{x_i}$. Entonces $U = \bigcap_i U_{x_i}$, $V = \bigcup_i V_{x_i}$ están abiertos y disjuntos, $A \subset U \cup V$, $a \in U$, y $A \cap \partial W \subset V$. Así que si establecemos $U' = U \cap W$$V' = V \cup \bar{W}^c$, tenemos la deseada separación.

Esto debería funcionar correctamente si $\mathbb{R}^2$ es reemplazado por cualquier localmente compacto Hausdorff espacio.

Cualquier bug?