Cualquier infinita de la propiedad (T) subgrupo de $Aut(F_n)$?

Question

He oído que es todavía un problema abierto si $Aut(F_n), n\geq 4$ ha Kazhdan de la propiedad (T), donde a $F_n$ denota la no-abelian gratis de grupo en $n$ generadores, mi pregunta es:

¿Existe alguna infinito subgrupo $H$ $Aut(F_n), ~3<n\leq \infty$ tal que $H$ ha Kazhdan de la propiedad (T)?

Answer 1

Está abierto también. De hecho, la cuestión de si $Aut(F_n)$ tiene el Haagerup Propiedad también está abierto (en realidad para todos los $n\ge 2$). Para que este (por $n\ge 4$) es intermedio entre los dos.

[Para una arbitraria infinita grupo discreto $G$ hemos implicaciones:

$G$ ha Kazhdan T $\Rightarrow$ $G$ tiene una infinita subgrupo con Kazhdan T $\Rightarrow$ $G$ tiene una infinita subgrupo con relativa Kazhdan T en $G$ $\Rightarrow$ $G$ no tiene Haagerup de la Propiedad.

Ninguno de los conversos sostiene. Para $n\ge 4$ todos son desconocidos para $Aut(F_n)$. Para $Aut(F_3)$ los dos primeros fallan, y los dos siguientes son abiertos, y para $Aut(F_2)$ (así como de $Out(F_3)$ y la de la trenza de los grupos de $B_{n\ge 4}$) los tres primeros fallar y la última está abierta.]