¿Esta ecuación tiene infinitas soluciones?

Question

Yo estaba considerando la posibilidad de algún número de problemas de la teoría de la que me inspiró para escribir la siguiente conjetura, que guarda cierta semejanza con el problema catalán, pero que en realidad es diferente:

Revisión de dos secuencias distintas de números primos $p_{1}, ..., p_{n}$$q_{1}, ..., q_{m}$. ¿Existen infinidad de secuencias de productos naturales $a_{1}, ..., a_{n}$, $b_{1}, ..., b_{m}$ de tal forma que:

$p_{1}^{a_{1}} ... p_{n}^{a_{n}} - q_{1}^{b_{1}} ... q_{m}^{b_{m}} = 1$?

Answer 1

Thue demostrado (http://en.wikipedia.org/wiki/Thue_equation) que la ecuación $$A \cdot X^k - B \cdot Y^k = 1$$ (para fija $A$, $B$, y $k$) tiene sólo un número finito de soluciones integrales si $k \ge 3$.

Revisión de dos conjuntos de números primos $p_i$$q_j$. Las ecuaciones de dar soluciones integrales a un número finito de Thue ecuaciones, y por lo tanto no puede haber más de finitely muchas de las soluciones.

Por ejemplo (a ser muy explícito acerca de la construcción), cualquier solución a $2^a 3^b - 5^c 7^c = 1$ los rendimientos de una solución a $$A x^3 - B y^3 = 1$$ con $A \in \{1,2,4,3,6,12,9,18,36\}$ y $B \in \{1,5,25,7,35,175,49,245,1225\}$.

Más generalmente, este problema cae en la clase más amplia de los problemas conocido como $S$-unidad de ecuaciones (http://en.wikipedia.org/wiki/S-unit), que se han estudiado bien.

Answer 2

Condicional sobre la conjetura abc, la respuesta es no. Tenemos $1 + \prod q_i^{b_i} = \prod p_i^{a_i}$ y el abc conjetura implica que $$\prod p_i^{a_i} \le (\prod p_i \prod q_i)^2$$

para todos, pero un número finito de opciones de la $a_i$$b_i$. Pero esta condición en sí misma sólo puede ser sostenido por un número finito de opciones de la $a_i$.