¿Es esta superficie difeomorfa a una 2-esfera?

Question

Sea $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ se define por $f(x,y,z)=x^4+y^6+z^8$ . Sea $M=f^{1}(1)$ .

Es $M$ es difeomorfo a una esfera $S^2$ ?

He intentado resolver este problema, pero me he dado cuenta de que no tengo herramientas para solucionarlo.

El teorema del rango constante me dice $M$ es un colector bidimensional liso, pero no me dice cómo es.

Y más en general, ¿cuándo $N=\{x,y,z\in\mathbb{R}^3\mid ax^n+by^m+cz^l=1\}$ difeomorfo a una esfera? ¿Qué herramientas puedo utilizar para resolver este problema?

Gracias por su lectura. Espero que su respuesta arroje algo de luz.

Answer 1

Reformularé el problema en términos más generales. Damos una submanifold compacta $M\subset \mathbb R^n\setminus \{0\}$ que interseca cada rayo $\{t x:t>0\}$ , $x\in\mathbb R^n\setminus\{0\}$ exactamente una vez, y transversalmente . La afirmación es que $M$ es difeomorfo a $\mathbb S^{n-1}$ .

Intersección transversal de submanifolds $M_1,M_2$ significa que en cada punto $p\in M_1\cap M_2$ la unión de espacios tangentes $T_pM_1$ y $T_pM_2$ abarca el espacio tangente de la variedad ambiental ( $\mathbb R^n$ para nosotros). En nuestra situación, este requisito equivale a $T_pM$ que no contenga el vector que apunta desde $p$ al origen. Y si $M$ se define mediante la ecuación $f=c$ se puede reformular diciendo que $\nabla f(x)$ nunca es ortogonal a $x$ esto último es fácil de comprobar en tu ejemplo.

Consideremos el mapa radial $G( x)=\dfrac{ x}{| x|}$ que se proyecta radialmente $\mathbb R^n\setminus\{0\}$ en la esfera $\mathbb S^{n-1}$ . Se trata de un inmersión un mapa suryectivo suave tal que el rango del diferencial es igual a la dimensión del espacio objetivo. De hecho, la matriz derivada de $G$ es $\dfrac{|x|^2I-x\otimes x}{|x|^3}$ que tiene un núcleo unidimensional: a saber, los vectores colineales a $x$ .

Sea $g=G_{|M}$ la restricción de $G$ a $M$ . La diferencial también restringe, y por la condición de transversalidad la diferencial de $g$ tiene un núcleo trivial . Desde $g:M\to\mathbb S^{n-1}$ es una biyección por suposición, y ambos espacios son compactos, concluimos que $g$ es un homeomorfismo. Al tener derivada invertible en cada punto, también es un difeomorfismo.

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Lo anterior se aplica a $ax^n+by^m+cz^l=1$ siempre que esta superficie sea compacta. Cuando no es compacta, no puede ser homeomorfa a la esfera, y mucho menos difeomorfa a ella.

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Observación añadida : Creo que basta con suponer que $M$ es una submanifold compacta cuya intersección con cada rayo $\{t x:t>0\}$ , $x\in\mathbb R^n\setminus\{0\}$ es transversal cuando no es vacío. De hecho, esta suposición implica, a través del argumento anterior, que $g:M\to\mathbb S^{n-1}$ es un abra mapa. Por lo tanto $g(M)$ está abierto en $\mathbb S^{n-1}$ pero al ser también compacta, debe coincidir con $\mathbb S^{n-1}$ . Queda por demostrar que $g$ es inyectiva, pero me estoy quedando en blanco aquí.

Answer 2

Teoría Morse es una herramienta muy adecuada para resolver este tipo de problemas. Encontraremos una función de Morse en $M$ y podemos calcular los índices de sus puntos críticos. Tomemos $$ \begin{array}{rccc} h:&M&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &(x,y,z)&\longmapsto & x \end{array}. $$

Tenga en cuenta que $T_{(x,y,z)}M=\ker d_{(x,y,z)}f$ . Desde $$ df=4x^3dx+6y^5dy+8z^7dz $$ su núcleo está generado por $$ 3y^5\frac{\partial}{\partial x}-2x^3\frac{\partial}{\partial y}\ \mbox{and}\ 2z^7\frac{\partial}{\partial x}-x^3\frac{\partial}{\partial z},\ \mbox{at points with}\ x\neq 0 $$ $$ \frac{\partial}{\partial x}\ \mbox{and}\ 4z^7\frac{\partial}{\partial y}-3y^5\frac{\partial}{\partial z},\ \mbox{at points with}\ x=0 $$ Ahora, tenemos $dh=dx$ que aplicada a los campos vectoriales anteriores da las funciones $3y^5,2z^7$ en puntos con $x\neq 0$ y las constantes $1,0$ en puntos con $x=0$ . De ello se deduce que $(x,y,z)\in M$ es un punto crítico de $h$ sólo si $y=z=0$ . Así que $h$ tiene exactamente dos puntos críticos, que son $(1,0,0)$ y $(-1,0,0)$ .

Por último, puesto que $M$ es compacta -supongo que sabes demostrarlo- y admite una función de Morse con sólo dos puntos críticos, debe ser una esfera (en este caso tan sencillo no hace falta calcular los índices de los puntos críticos, aunque sean 0 y 2, claro).

En cuanto al caso general $ax^n+by^m+cz^l=1$ puedes realizar un cálculo similar y decidir qué superficie obtienes en términos de puntos críticos y sus índices. Sin embargo, tendrás que tener cuidado con la compacidad (¿qué pasa si uno de los exponentes es impar?) y probablemente quieras suponer que $abc\neq 0$ .