¿Cuál es el primer fin de axioma de la caracterización de un campo teniendo característica cero?

Question

En este hilo sobre los axiomas de la $\mathbb Q$ dicen que tener un campo de característica cero puede ser escrita en la lógica de primer orden. La definición de la lógica de notas de la conferencia que trabajan con (por Stephen G. Simpson) dar la definición estándar, que no es una formales de primer orden de la declaración:

$$"(1+1+\ \dots\ +1+1)_{n\ \text{times}}\neq0"$$

Ahora en esta página de la Wikipedia en periódico grupos (y en la referencia que allí se indican, lo he buscado), se afirma que un grupo de periódicos

$$"\forall x.\, ((x=e) \lor (x\circ x=e) \lor ((x\circ x)\circ x=e) \lor \ldots)"$$

no puede ser declarado en la lógica de primer orden. Ambos serían "para todos los $n\in \mathbb N$" declaraciones y hace que mi pregunta de cómo la característica cero axioma puede ser un primer orden de declaración y, en segundo lugar, si podemos formalmente saque $\mathbb Q$ sin primero formalizar $\mathbb N$.

Mi pregunta es: ¿Cuál es el primer fin de axioma de la caracterización de un campo teniendo característica cero?

Answer 1

Lo que significa declarar $$(1+1+\cdots+1+1)_{n\text{ times}}\neq0$$ para ser un axioma esquema (!) es que cada una de las fórmulas $$ \begin{align} 1 &\neq 0 \\ 1+1 &\neq 0 \\ 1+1+1 &\neq 0 \\ 1+1+1+1 &\neq 0 \end{align} $$ y así sucesivamente, es separtely un axioma.

Como Asaf sostiene, la que resulta de la teoría de los campos de característica 0 no es finitely axiomatizable, pero no hay nada intrínsecamente malo con tener una teoría con un número infinito de axiomas, siempre hay una manera definitiva para determinar si una fórmula es un axioma o no.

Axioma esquemas se utilizan también en la costumbre de primer orden de las teorías básicas de la aritmética (Aritmética de Peano con su inducción axioma esquema) o la teoría de conjuntos (ZFC con el axioma de los esquemas de selección y reemplazo).

Answer 2

No hay un solo axioma de hacer eso. Pero en lugar de un esquema de axiomas que indica que la característica no es positivo de cualquier valor posible.

A ver que este es el caso, considere la posibilidad de la ultraproduct de todos prime campos de orden finito, con un libre de ultrafilter. El resultado es una de las características $0$ campo. Y cualquier declaración de cierto en ese campo es verdadera en una infinidad de campos finitos. Así que no puede haber un solo axioma que indica que las características de la es $0$.

Answer 3

El problema con el grupo de la teoría del caso es que no hay manera natural de romper un infinito $\lor$ en distintos axiomas. Pero el infinito axioma esquema de $\mathbb Q$ representa una infinita $\land$, por lo que podemos dividir en dos axiomas.