Tratando de modificar la ecuación del cohete de Tsiolkovsky para el mundo real

Question

Todo el mundo sabe acerca de la famosa Tsiolkovsky cohete ecuación. Sin embargo, formuló la ecuación descuidando muchas cosas. Así que, aquí, estoy tratando de encontrar la verdadera ecuación.

Mis pensamientos:

Supongamos, el cohete tiene una masa de $M_i$ (incluyendo el combustible) en el momento $t_0$. En el momento $t_f$, se tendrá en masa $M_f$.

Ahora, tenemos que calcular la velocidad que tiene en ese momento cuando el tiempo es $t_f$.

Supongamos que,en el momento $t$, el cohete tiene una masa de $m$ tener la velocidad de $v$. Después de intervalo de tiempo $dt$ , se tiene una masa de $m - dm$ ahora tener la velocidad de $v + dv$ y la de gas de $dm$ tiene una velocidad relativa $u$ . Así que, después de hacer un poco de trabajo de álgebra y cálculo, a continuación, aplicar la 2da ley, nos,

$$\sum{F_\text{ext}} + F_{\text{thrust}} = m.\dfrac{dv}{dt}$$ Ahora, ya que los cambios de altura, $\dfrac{dg}{dt} = J \implies dg = J.dt \implies g_t = J.t + g_0$ Ahora, la velocidad ha cambiado durante la $dt$ :

$$ dv = g.dt + \dfrac{f_\text{drag}}{m} + \dfrac{u\frac{dm}{dt}}{m} .$$ Ahora, tenemos que integrar esta como: $$ \int_{0}^{v_f} dv = \int_{t_0}^{t_f} g(t).dt + \int_{M_i}^{M_f} \dfrac{f_\text{drag}}{m} + \int_{M_i}^{M_f} \dfrac{\frac{dm}{dt}}{m}$$ where $F_\text{ext}$ is the net external force; $F_\text{empuje}$ is the thrust force;$f_\text{arrastre}$ is the drag force of the surroundings. Hmmm... Here, I am in dilemma, say it because of my limited knowledge of calculus( I am still learning,17 only!), due to change in height $g$ changes; therefore we have to include the rate of change of $g$ es decir, Idiota, aire espesor de cambios como resultado del arrastre también cambia; y también, la velocidad relativa y la velocidad de eyección de los gases de cambiar junto con el cambio de la masa principal. Así que, ¿cómo integrar la ecuación teniendo en cuenta todas estas relaciones?? Por favor me ayude en la formulación de la última ecuación.

Answer 1

Yo hago lo que puedo responder a sus preguntas en la cara-valor, pero hay un error en la formulación de aquí. Eso está bien, porque la ciencia de los cohetes no es intuitiva. Su pregunta se reduce a

Así que, ¿cómo integrar la ecuación teniendo en cuenta todas estas relaciones??

Aquí están los factores que hasta ahora se ha considerado:

• debido al cambio en la altura de g cambios; por lo tanto tenemos que incluir la tasa de cambio de g NOTA: este constituye el efecto de las mareas
• la fuerza de arrastre de los alrededores

Esto pierde de vista la gravedad de arrastre. ¿Cuál es la gravedad de arrastre? Me dicen que es la pérdida debida a la imperfecta vectorial de una órbita de cambio. Para hacer un perfecto órbita de cambio de maniobra, que sería lo ideal grabar sus cohetes en la dirección opuesta a su movimiento (y en el perigeo, un factor ignoro aquí). Pero como la Tierra-vivienda individual, tiene un práctico restricción debido a que usted no puede ir por debajo de r = {el radio de la Tierra}. Así que usted está atascado el gasto de una gran cantidad de combustible lidiar con el problema de no estrellarse contra el suelo. Imagina un jet pack. El fuego de los cohetes, sin embargo, por un minuto, y el derecho de la tierra de donde empezó (por diversión). Que del 100% de la gravedad de arrastre.

Para algunas cuentas, me gustaría leer esta pregunta en el Espacio de Intercambio de la Pila. Las diferentes respuestas que se le dará un par de intentos en un desglose de cuánto diferentes factores de recuento. Este es un fenómeno relativamente común de tema, pero me es difícil encontrar ejemplos en los que la gente obtenga los detalles a la derecha. La línea inferior es la gravedad de arrastre domina entre los diferentes factores. El aire de arrastre es algo importante, pero no es el dominante. De hecho, el arrastre de aire es un problema principalmente porque agrava el impacto de la gravedad de arrastre. Usted tiene que ir más lento a través de la atmósfera, y que te hace gastar más combustible, NO sólo porque usted está empujando a moverse a través del aire, sino porque te hace flotar en el sub-orbital velocidad, cuesta propulsor a través de la gravedad de arrastre. Tan perfecto que la contabilidad es realmente como la gravedad de arrastre, aire arrastre inducido por la gravedad de arrastre, el arrastre de aire y, a continuación, altitud subida. Estos están relacionados entre sí, mutuamente la capitalización de cada uno de los otros, así que es difícil para casi organizarlos en diferentes números. Quizás por eso es tan difícil encontrar buenas lecciones sobre esto.

La aplicación

Así que permítanme responder a su pregunta. Lidiar con los efectos de la marea combinado con el aire de arrastre dará como resultado una ecuación irresoluble. Incluso el trato con el aire de arrastre solo será irresoluble. Usted no puede hacer eso debido a la gravedad de vuelta el proceso en el que el cohete se inicia principalmente vertical y luego se vuelve hacia los lados. Un algebraica de la ecuación no tiene solución para estos casos.

Pero no seamos tan pesimistas. El factor más importante es la gravedad de arrastre, después de todo. Así que en lugar de revisar el cohete ecuación de una larga lista de factores, tal vez podemos hacer más exacta la expresión de contabilidad para la mayoría de los principales factores. Yo puedo creer que esto es posible por la gravedad de arrastre.

En mi humilde opinión, tendría la mejor oportunidad de conseguir una solución suponiendo que la altitud sigue siendo el mismo en todo el orbital de lanzamiento. Usted podría (algo válidamente) asume una constante de empuje o de aceleración constante. Lo que significa que su cohete será basado a su vez en la necesidad de permanecer en un radio constante. Para un lanzamiento en un airless mundo, esto no sería tan malo. También puede obtener una gran fracción del camino entre la Tierra de 7,8 km/s la velocidad de la órbita y el 9 o 10 km/s que se requiere para lanzar un cohete para poner en órbita.

La parte superior de mi cabeza, no estoy seguro de si este escenario ha sido solucionado antes. Ni siquiera estoy seguro de si es posible. Pero si quería ir en el problema, esta es la más prometedora de la ruta.

Advertencias

Si has solucionado el escenario anterior, no sería una nueva forma de la "ecuación del cohete", porque sólo se aplica a los viajes de un punto fijo sobre la superficie a una órbita baja. Si se transfiere de una órbita a otra con un Holman transferencia, tendría que hacerlo todo de nuevo. Este hecho es una razón por la que el cohete ecuación tiene tantos fans - se aplica en general.

Answer 2

¿Si he entendido correctamente, que desee el cambio real dv considerando arrastrar, variando la densidad del aire, eficiencia del motor y en general bastante mucho todo?

En ese caso, no hay ninguna solución analítica. Tienes que integrar numéricamente.