Demostrar eso si $A - A^2 = I$ $A$ tiene sin valores propios reales

Question

Da: $$ A \in M_{n\times n}(\mathbb R) \; , \; A - A^2 = I $ $

Entonces tenemos que demostrar que $A$ no tiene valores propios reales. ¿Cómo se demuestra tal cosa?

Answer 1

Sugerencia: Aplicar la ecuación a un vector propio.

Answer 2

$A-A^2=I\to A^2-A=-I\to A^2-A+I=0$

Puesto que A satisface su ecuación característica (Teorema de Cayley-Hamilton), reemplazar A $\lambda$ y ver lo que hay...

Answer 3

Sugerencia: ¿Existe un número real $\lambda$ $\lambda-\lambda^2=1$?

Answer 4

Suponga $A-A^2=1$. Deje $Q(X):=X^2-X+1$. A continuación,$Q(A) = 0$.

También nos indican el polinomio característico de a$A$$\chi_A$. Además, se denota el polinomio mínimo de a$A$$\mu_A$. Esta es la más pequeña de polinomios, w.r.t. grado, que satisface $\mu_A(A)=0$. Este polinomio se divide a todos los otros polinomios $P$ cumplir $P(A)=0$.

Deje $\lambda$ ser arbitraria raíz de $\chi_A$. A continuación, $\lambda$ es un autovalor de a $A$ a algunos autovector $v\neq 0$. Para cualquier polinomio $P$, $P(\lambda)$ entonces es un autovalor de a $P(A)$. En particular, $\mu_A(\lambda)$ es un autovalor de a $\mu_A(A)$, es decir,$\mu_A(A)\cdot v = \mu_A(\lambda)\cdot v$. Sin embargo, $\mu_A(A)=0$, por definición, de $\mu_A$, lo $\mu_A(\lambda)\cdot v = 0\cdot v = 0$. Desde $v \neq 0$, llegamos a la conclusión de $\mu_A(\lambda)=0$.

Por lo tanto, cualquier raíz de $\chi_A$ también es una raíz de $\mu_A$. Además, dado que $Q(A)=0$, $\mu_A$ divide $Q$, por lo tanto, cualquier raíz de $\mu_A$ debe ser una raíz de $Q$. Sin embargo, $Q$ no tiene raíz en $\mathbb{R}$.

Answer 5

satisface a $A$ $x^2-x+1=0$, cuyo discriminante es negativo.