Pueden espacios vectoriales sobre los diferentes campos de ser isomorfos?

Question

Dos espacios vectoriales son isomorfos si existe una invertible lineal mapa entre ellos. Se puede demostrar que isomorfo vectores espacios tendría que tener la misma dimensión finita o ambos ser de infinitas dimensiones. Pero lo que si están en diferentes campos? Por ejemplo, el trivial espacio vectorial sobre $\mathbb C$ ser considerado isomorfo al trivial espacio vectorial sobre $\mathbb R$? O no, puesto que, si dejamos $T$ ser la única posible lineal mapa entre ellos, $T(i0)\neq iT(0)=i0$, ya que el $i0$ no está definido en el codominio (desde $i$ no es un escalar en $\mathbb R$)?

También, hay otros ejemplos de espacios vectoriales sobre el terreno diferente que sería "isomorfo" como este?

Answer 1

Morfismos de espacios vectoriales (es decir, lineal mapas) y, en particular, isomorphisms, sólo se definen en el contexto (categoría) de espacios vectoriales sobre un campo específico$~K$. La mención de$~K$ a menudo se omite una vez que el campo es fijo, pero es aún implícitamente siempre parte de todas las declaraciones. Así que la declaración de que dos espacios vectoriales son isomorfos implica que ellos son considerados como espacios vectoriales sobre el mismo campo (uno o ambos podrían permitir ser consideradas como vectores de más de espacio que en otro campo, pero que a la vista es irrelevante para el isomorfismo declaración).

De hecho, si dos espacios pueden ser vistos como espacios vectoriales en dos diferentes campos de $F,K$, entonces el hecho de que son isomorfos $F$ no implica que ellos son isomorfos $K$. Por ejemplo, $\Bbb R^1$ $\Bbb R^2$ son no isomorfos como espacios vectoriales sobre$~\Bbb R$, pero ellos son isomorfos como espacios vectoriales sobre$~\Bbb Q$ (para aquellos que aceptan el axioma de elección).