Cómo evaluar $\sum\limits_{n \geq 0} \left(S_{n + 2} + S_{n + 1}\right)^2(-1)^n$, dada la multivariable de la recurrencia de la relación?

Question

El dado multivariable de la recurrencia de la relación es que por cada $n \geq 1$ $$S_{n + 1} = T_n - S_n$$ donde$S_1 = \dfrac{3}{5}$$T_1 = 1$. Tanto en $T_n$ $S_n$ depende de las siguientes condiciones $$ \dfrac{T_n}{S_n} = \dfrac{T_{n + 1}}{S_{n + 1}} = \dfrac{T_{n + 2}}{S_{n + 2}} = \dots $$ El objetivo es evaluar $$\sum\limits_{n \geq 0} \left(S_{n + 2} + S_{n + 1}\right)^2 (-1)^n$$

Desde el cambio entre el $T_n$ $T_{n + 1}$ no es constante, creo que la forma de abordar este problema es tener todos los términos con el consecuente coeficiente. Sin embargo, yo no soy lo suficientemente hábil como para simplificar la suma en una sola variable.

Answer 1

Observe que

$$\frac53=\frac{T_1}{S_1}=\frac{T_n}{S_n}$$

Por lo tanto, $T_n=\frac53S_n$. Poner esto en, obtenemos

$$S_{n+1}=\frac23S_n$$

que es una progresión geométrica. La forma general es, a continuación,$S_n=\frac35\times\left(\frac23\right)^n$, por lo que tenemos

$$\text{Sum}=\frac49\sum_{n\ge0}a^n$$

donde $a=-\frac49$ es muy sencillo de series geométricas.