$a+b+c+d+e$ divide $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$

Question

Sea $a,b,c,d,e$ sean números enteros tales que $a(b+c)+b(c+d)+c(d+e)+d(e+a)+e(a+b)=0$ . Demostrar que $a+b+c+d+e$ divide $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$ .

Me recuerda a la factorización $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ . Pero para $5$ grado, ¿cómo puedo encontrar una factorización para $a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde$ ?

Answer 1

Sugerencia: tenga en cuenta que si $a(b+c)+b(c+d)+c(d+e)+d(e+a)+e(a+b)=0$ entonces $$(a+b+c+d+e)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2$$ Ahora toma $P(x)=x^5+kx^4+rx^3+sx^2+tx+u$ con raíces $a,b,c,d,e$ a continuación, de Viète de Viète;

$\boxed{ u=-abcde}$ ,

$\boxed{k=-(a+b+c+d+e)}$ ,

$\boxed{r=ae+be+ce+de+ab+ac+ ad+bc+bd+cd=0}$

Toma $m=a^4+b^4+c^4+d^4+e^4$ y Cómo $P(a)+P(b)+P(c)+P(d)+P(e)=0$ entonces:

$${a^5+b^5+c^5+d^5+k(m)+s(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)+t(a+b+c+d+e)+5u=0}$$ entonces $${a^5+b^5+c^5+d^5-5u=-k(m)-s(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)-t(a+b+c+d+e)}$$ $$\implies{a^5+b^5+c^5+d^5-5abcde=(a+b+c+d+e)\cdot M}$$

$$\implies(a+b+c+d+e)|(a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde)$$

Answer 2

Si utiliza las siguientes notaciones: $$s_1=a+b+c+d+e$$ $$s_2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$$ $$s_3=abc+abd+abe+acd+ace+ade+bcd+bce+bde+cde$$ $$s_4=abcd+abce+abde+acde+bcde$$ $$s_5=abcde$$ Entonces tenemos: $$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5=\left(\left(s_1\left(s_1^2-2s_2\right)-s_1s_2+3s_3\right)s_1-s_2\left(s_1^2-2s_2\right)+s_3s_1-4s_4\right)s_1-s_2\left(s_1\left(s_1^2-2s_2\right)-s_1s_2+3s_3\right)+s_3\left(s_1^2-2s_2\right)-s_4s_1+5s_5$$ La condición dada está en esta notación: $$s_2=0$$ De ello se deduce que: $$a^5+b^5+c^5+d^5+e^5-5abcde=s_1\left(s_1^4+5s_1s_3-5s_4\right)$$ Y se obtiene el resultado deseado.