Conjuntos cerrados contables

Question

Hay un teorema que afirma que la unión finita de conjuntos cerrados es cerrada, pero me preguntaba si tenemos un conjunto que consta de un número contable de subconjuntos que son todos cerrados si ese conjunto es cerrado. Realmente quiero creer que el conjunto es cerrado pero me he equivocado en el pasado así que si alguien puede darme una respuesta estaría muy agradecido.

Gracias.

Answer 1

No. Considere las dos colecciones siguientes:

1. Para $n \in \mathbb{N} = \{ 1,2,\ldots \}$ , dejemos que $A_n = \{ n \}$ . Claramente cada $A_n$ es cerrado (todos los singletons son cerrados) y su unión $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \mathbb{N}$ también es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ .
2. Para $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $B_n = \{ \frac{1}{n} \}$ . De nuevo, cada $B_n$ está cerrado, pero su unión $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} B_n = \{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \}$ no está cerrado, porque $0$ es un punto límite de ese conjunto.

Añadido:

Los ejemplos presentados aquí casi podrían hacer creer que la unión contable de conjuntos cerrados puede ser casi cualquier cosa. Esto no es exactamente así, y llamamos a una unión contable de conjuntos cerrados un $\text{F}_\sigma$ -Configurar . Hay muchos conjuntos que no pertenecen a esta clase; el conjunto $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ de todos los números irracionales es sólo un ejemplo.

Sin embargo, hay condiciones para una familia $\{ F_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ de conjuntos cerrados que implican que su unión también es cerrada. Un ejemplo es el siguiente: Si para cada $x \in \mathbb{R}$ hay un $\delta > 0$ tal que $F_n \cap ( x-\delta , x+\delta) = \emptyset$ para todos los casos, excepto para un número finito de $n$ , entonces la unión $\bigcup_{n\in\mathbb{N}} F_n$ está cerrado.

Answer 2

No. Las uniones contables de conjuntos cerrados no tienen por qué ser cerradas, por ejemplo $$ (0,1) = \bigcup_{n\ge 2} \left[\frac 1n, 1-\frac 1n\right] $$ no está cerrado en $\mathbb R$ .

Answer 3

No. $(0,2)=\bigcup_{n=1}^\infty [1/n,2-1/n]$ . En realidad, se puede demostrar que todo conjunto abierto en un espacio métrico es una unión contable de conjuntos cerrados.

Answer 4

Tomemos la línea real dotada de la topología habitual, y $S_n:=\{n^{-1}\}$ para cada número entero $n$ . $0$ está en el cierre de la unión de $S_n$ pero no en esta unión, por lo que ésta no se puede cerrar.

Answer 5

Hay muchos casos, por ejemplo $\bigcup [-n,n]=\mathbb{R}$ cerrado (no compacto) y abierto y $\bigcup [-n^{-1},n^{-1}]=[-1,1]$ (compacto) . Y hay casos como $\bigcup [-1+n^{-1},1-n^{-1}]=(-1,1)$ (abierto, no cerrado), $\bigcup [-1,1-n^{-1}]=[-1,1)$ (ni abierto ni cerrado).

Sin embargo, estos conjuntos son importantes (cuando la unión es contable) porque están "cerca" (en el sentido de la medida) de los conjuntos cerrados y se denominan en la teoría de la medida $F_\sigma$ viene francés Fermé somme lo que significa literalmente "suma cerrada".

Corrección: $\bigcup [-1,1+n^{-1}]=[-1,2]$