Dejemos que $g_1(x), \ldots, g_k(x)$ sean funciones convexas de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$ y supongamos que el mínimo global de cada $g_i$ es única y se consigue, denotando $$x_i = \arg \min_{x \in \mathbb{R}^n} g_i(x).$$ Parece natural suponer que todos los mínimos de $$ g_1(x) + g_2(x) + \cdots + g_k(x)$$ estará en el casco convexo de $\{x_1, \ldots, x_k\}$ . ¿Es esto cierto?
Respuesta
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Falso, considere las funciones
$$g_1(x,y) = \frac19(x-1)^2 + y^4 \quad\text{ and }\quad g_2(x,y) = x^4 + \frac19 (y-1)^2$$
Sus mínimos globales se alcanzan en $x_1 = (1,0)$ y $x_2 = (0,1)$ respectivamente.
Sin embargo,
$$g_1(x,y) + g_2(x,y) = \frac19 (x-1)^2 + x^4 + \frac19 (y-1)^2 + y^4$$
Aviso $$\frac{d}{dx} \left( \frac19 (x-1)^2 + x^4 \right) = \frac{2\,\left( 3\,x-1\right) \,\left( 6\,{x}^{2}+2\,x+1\right) }{9}$$
El mínimo global de $g_1(x,y) + g_2(x,y)$ se consigue en $(x,y) = (\frac13,\frac13)$ , fuera del casco convexo de $(0,1)$ y $(1,0)$ .
