Aproximar la distribución de la suma de ind. Beta r.v

Question

Si $X_i$ tiene una distribución Beta $\beta(1,K)$.

¿Cuál es la mejor aproximación para la distribución de $ S=\sum_{i=1}^N X_i$, cuando el $X_{i}$ son independientes y $N$ es finito.

Gracias

Answer 1

Si quieres mejores aproximaciones de lo que se obtiene a partir del teorema del límite central, hay resultados en un libro dedicado exclusivamente a la distribución beta: http://www.amazon.com/Handbook-Beta-Distribution-Applications-Statistics/dp/0824753968/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1403444915&sr=1-1&keywords=beta+distribution

(En el amazon.com sitio web usted puede buscar dentro de este libro!) Arouind página 70 hay resultados exactos para la suma de dos distribuciones beta, arouind página 70 de encontrar una aproximación suponiendo que la suma también tiene una distribución beta generalizada y, a continuación, equiparar momentos. En la página 85 dan aproximaciones generales sumas utilizando el mismo método, lo que equivale momentos. Alrededor de la página 85 a 87 dan referencias que usted puede seguir.

Answer 2

Puesto que usted no puede compartir los detalles, no podemos saber en qué medida puede utilizar transformaciones de las variables, y aún así obtener lo que usted necesita. Por lo que vale la pena, un habitual de transformación de aquí es el siguiente:

$$X_i \sim \beta(1,K) \Rightarrow Z_i=-\ln(1-X_i) \sim \text{Exp}(K)$$

y

$$S_z = \sum_{i=1}^NZ_i \sim \text{Erlang}(N,K)$$

con pdf

$$f_{S_z}(s_z) = \frac {K^NS_z^{N-1}e^{-KS_z}}{(N-1)!}$$

Answer 3

CLT: $(S_n-n\mu)/\sigma\sqrt{n}$ es de aproximadamente distribured como $\mathrm{N}(0,1)$ grandes $n$.

Para determinar el $\mu$ $\sigma$ el uso de este y este.