Encajar una colección infinita de bolas en una bola unitaria de dimensión infinita

Question

Dado un espacio lineal normado de dimensión infinita, ¿cómo se demostraría que es posible encajar una colección infinita de bolas no superpuestas de radio $\frac{1}{4}$ en la bola de la unidad?

Supongo que se puede reducir inmediatamente el problema a un espacio lineal normado de dimensiones contablemente infinitas. La solución parece clara si existe el concepto de ortogonalidad, pero no todo espacio lineal normado tiene un producto interior, por lo que no es posible aplicar algo como Gram-Schmidt para producir una base ortogonal. ¿Hay alguna manera de evitar esto, o hay otro enfoque que se puede utilizar?

Answer 1

Este es un lema estándar que puedes utilizar. Si $M$ es un subespacio propio cerrado de un espacio lineal normado $E$ , entonces para todos los $\epsilon\gt0$ hay un $x\in E$ de norma 1 cuya distancia a $M$ es mayor que $1-\epsilon$ . (Por ejemplo, aquí hay una prueba en el lema 3-6.10 de la obra de Tsoy-Wo Ma Análisis clásico en espacios normados .)

Así es como puedes usarlo. Deje que $B$ denotan la bola unitaria de un espacio normado de dimensión infinita $X$ . Sea $x_1\in X$ tienen norma 1, y dejemos que $M_1$ sea el tramo de $\{x_1\}$ . Por el lema existe un $x_2\in X$ de norma 1 cuya distancia a $M_1$ es mayor que $\frac{2}{3}$ . Sea $M_2$ sea el tramo de $\{x_1,x_2\}$ y que $x_3\in X$ tienen norma 1 y distancia mayor que $\frac{2}{3}$ à $M_2$ . Se repite un número infinito de veces para obtener una secuencia $x_1,x_2,\ldots$ de elementos de $X$ de norma 1 con distancias entre pares mayores que $\frac{2}{3}$ . Obsérvese que el lema se aplicará siempre, porque cada $M_k=\operatorname{span}\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ es de dimensión finita, por lo tanto cerrada y propia. Entonces las bolas de radio $\frac{1}{4}$ centrado en los puntos $\frac{3}{4}x_1,\frac{3}{4}x_2,\ldots$ son disjuntos y están contenidos en $B$ .