¿Es estable el triciclo de ruedas cuadradas de MoMath?

Question

Mi pregunta tiene que ver con la geometría del paseo en triciclo de ruedas cuadradas Pedalear sobre los pétalos en el Museo Nacional de Matemáticas en Nueva York (MoMath).

Los triciclos circulan por una pista circular (ver video o las imágenes de abajo), cuya superficie forma lo que podría llamarse una catenaria en abanico. Obsérvese que las ruedas interiores de los triciclos son de menor tamaño que las exteriores, para que se adapten a la menor longitud de la vía. Obsérvese también que las dos ruedas traseras tienen cada una su propio eje, y el eje de la rueda interior más pequeña es correspondientemente más bajo, aunque están engranadas para que giren juntas a la misma velocidad angular. Así, las dos ruedas giran al unísono, y sus esquinas se hunden al mismo tiempo en las hendiduras entre las piezas de la catenaria. Otro detalle es que el ángulo de giro del triciclo es fijo: el piloto no puede dirigirlo.

El punto de la exposición, por supuesto, es que a pesar de las ruedas cuadradas y el camino lleno de baches, los triciclos ofrecen un paseo suave alrededor del curso. Cada eje se mantiene a la misma distancia del suelo al girar, porque la pista irregular compensa exactamente el cambio del radio del cuadrado al girar.

Mi pregunta tiene que ver con la observación de que cada triciclo funciona correctamente sólo en un determinado radio fijo desde el centro de la pista, es decir, el radio en el que la circunferencia de las ruedas coincide con la de la superficie de la pista. Si se observa en las fotos, se puede ver que este radio está marcado en la pista con una línea central roja sólida para la rueda delantera y líneas discontinuas para las ruedas traseras. Las ruedas tienen una superficie de goma que no resbala en la superficie de la pista.

Pregunta. ¿Es estable la geometría de esta disposición bajo pequeñas perturbaciones?

En otras palabras, parece inevitable que los triciclos se golpeen de alguna manera o se desvíen un poco de su línea, y entonces las ruedas dejarán de encajar exactamente en la pista. ¿La forma precisa en que no encajan tenderá a forzarlas a volver a la pista correctamente? ¿Y qué pasa si el ángulo fijo de la dirección está un poco desviado? ¿El funcionamiento del triciclo simplemente lo forzará a volver a su sitio?

Observando el funcionamiento de la exposición en la práctica, parece ser bastante estable, y nunca he visto que un piloto se quede atascado. Le pregunté al tipo que dirige la exhibición en MoMath, pero sólo dio una respuesta no comprometida, aunque sugirió que podría ser al menos un poco estable.

Espero que alguien con un gran sentido geométrico pueda explicarme por qué los triciclos parecen funcionar sin problemas incluso cuando están sometidos a las fuerzas aleatorias de los niños que los empujan.

Answer 1

Una discusión interesante. Como antiguo empleado de MoMath, creo que puedo arrojar algo de luz aquí. La respuesta corta es que la dirección y el radio de los trikes se mantienen y corrigen solos hasta cierto punto. La clave es que hay un ligero deslizamiento de las ruedas contra la pista. Las ruedas traseras tenderán a caer en su ranura al mismo tiempo. Si todo funciona a la perfección, simplemente ruedan hacia la ranura. Si no es así, una u otra se deslizará un poco para mantenerse sincronizada. Ahora imagina el caso de estar demasiado lejos del centro de la pista. Cuando las ruedas traseras se alinean con un surco, el ángulo fijo de la dirección hará que la rueda delantera no apunte a una trayectoria circular tangente, sino ligeramente hacia el centro, poniendo rumbo a un radio menor. En el caso de que el triciclo circule por un radio demasiado pequeño, a menudo las esquinas de las ruedas traseras no tendrán la oportunidad de caer en su surco porque se encuentran con la siguiente catenaria (son catenarias, por cierto.) antes de tiempo. Si no está demasiado lejos, la rueda girará hacia delante y caerá en el surco. Por lo general, si se pasa de este punto, el efecto de autocorrección descrito anteriormente se hará cargo (en este caso, esto significa que la dirección de ángulo fijo hará que el triciclo se aleje del centro). Sin embargo, a veces la curva llegará demasiado alto para deslizarse hacia atrás y el triciclo se detendrá.

Answer 2

Perdón por el error sobre la catenaria; es bastante fácil confirmar que una línea, girada sin deslizarse alrededor de la catenaria $y = \cosh x,$ lleva el origen a lo largo del $x$ -eje. La catenaria es una de esas raras curvas en las que la longitud de arco puede calcularse de forma cerrada.

Answer 3

Como no he avanzado más, copio aquí mis comentarios anteriores:

En una primera aproximación se puede considerar el caso en el que el radio de la vía se lleva al $\infty$ límite, por lo que tiene una bicicleta en la cruz de la catenaria $\mathbb{R}$ . La cuestión ahora es si si se arranca la bicicleta en una dirección ligeramente transversal a la catenaria la bicicleta se autodirige. Y afirmo que en este modelo existe una fuerza restauradora de la gravedad. Esto se puede ver fácilmente observando que cuando las bicicletas están sentadas con las esquinas rectas hacia abajo, el estado "alineado" en el que las esquinas encajan exactamente en la ranura minimiza la energía potencial. Así que con una fricción suficientemente pequeña, la gravedad hará que una bicicleta estacionaria (ignorando por ahora el problema de que se caiga de lado; esto puede evitarse utilizando un triciclo y restringiendo las perturbaciones para que sean suficientemente pequeñas) se auto-derive, con las perturbaciones disipadas por la fricción.

Del mismo modo, si se pone el triciclo como en la imagen sentado en una ranura, no es muy difícil ver que cualquier pequeña perturbación aumenta la energía potencial de la bicicleta.

El problema con este argumento es que si las ruedas de goma son lo suficientemente pegajosas, la fricción estática puede ser suficiente para evitar que el triciclo se aderece. Esto se puede ver ya por El argumento de Will Jagy En el caso de que las ruedas sean redondas y el suelo sea plano: si se mueve un poco el triciclo, éste orbitará alrededor de un punto central diferente. Algo similar ocurriría si sólo se permiten condiciones estrictas de "rodar y no resbalar" en las ruedas.

Supongo que en el modelo físico real se produciría algún deslizamiento. Como puedes ver, la respuesta sobre la estabilidad depende del modelo que utilices y de las configuraciones que asumas.