Un problema en el grupo theory_dsom

Question

Deje $H$ ser un grupo de números enteros modp, en suma, donde $p$ es un número primo. Supongamos que $n$ es un número entero de satisfacciones $1 \leq n \leq p$, y sea G el grupo $ H \times H \times \cdots \times H$ (n factores). Mostrar que $G$ no tiene automorphism de orden $p^2$.

Answer 1

$H$ es de hecho un campo, por lo tanto $G$ puede ser viewes como un espacio vectorial sobre $H$, y cada automorphism del grupo $G$ es también lineal automorphism del espacio vectorial $G$. Como tal, puede ser descrita por una $n\times n$ matriz $A$. Si $G$ orden $p^2$, entonces esta matriz tiene un autovalor (en una clausura algebraica de $H$) que es un primitivo $p^2$th raíz de la unidad. El grado de su polinomio mínimo es $\phi(p^2)=p\cdot(p-1)$ mayor que el grado $\deg(A-\lambda)$ del polinomio característico - a menos $p=n=2$. Pero el automorphism grupo de $C_2\times C_2$ es bien conocido y es igual a $S_3$, que no contiene un $C_4$.