Vieja pregunta de examen sobre pedido bien en $\mathbb{R}$

Question

No estoy seguro de cómo empezar a abordar esta cuestión y el amor de una pista:

Deje $<$ el orden regular la relación en $\mathbb{R}$, e $<_w$ bien con el pedido en $\mathbb{R}$. Definimos una coloración función de $h:[\mathbb{R}]^2 \rightarrow 2$ así: $$ h(\{x,y\}) = \left\{\begin{matrix} 1 &((x < y) \wedge (x <_w y)) \vee ((y < x) \wedge(y<_wx)) \\ 0 & otherwise \end{de la matriz}\right. $$ Demostrar que no hay una relación homogénea $H \subseteq \mathbb{R}$ tal que $|H| = \aleph_1$.

No estoy seguro si estoy en lo "permitido" o la necesidad de asumir CA aquí. Parece que la pregunta está relacionada con la combinatoric propiedades de los grandes cardenales (el resultado sería que el $\mathbb{R}$ no es débilmente compacto, si no me estoy confundiendo), pero no de los teoremas vimos parece relevante.

Answer 1

Sugerencia: Suponga que hay un conjunto homogéneo, y lo utilizan para la construcción de un subconjunto de a $\mathbb{R}$ cuyo orden de tipo bajo$<$$\omega_1$. Esta debe ser una contradicción, porque, mediante la selección de puntos racionales entre los puntos en esta secuencia, se obtiene una estrictamente creciente $\omega_1$-secuencia de racionales.

Answer 2

La pregunta no está relacionada con grandes cardenales. Más bien está más cerca de la teoría de Ramsey, y sus diversos grados de insuficiencia en conjuntos infinitos.

Supongamos que no fue homogénea $H$ del tamaño de la $\aleph_1$.

Si $H$ es homogénea y su color es $1$, entonces hay una orden de la incrustación de un incontable número ordinal en $\Bbb R$, lo cual es imposible.

Si $H$ es homogénea y su color es $0$, entonces hay una secuencia $h_n\in H$ $<$mayor. Por homogeneidad esto significa que siempre que $n<k$, $h_k<_w h_n$. Esta es una disminución de la secuencia en el orden, lo cual es imposible.

Para completar los detalles en la anterior prueba que demuestre que usted necesita saber que cada subconjunto ordenado de $\Bbb R$ es contable (es decir, bien ordenado por la costumbre de ordenar). No es difícil de demostrar, y hay varias pruebas (especialmente si se nos permite usar el axioma de elección, entonces podemos recurrir a todo tipo topológico de pruebas).