¿Por qué es la inclusión del producto tensor de los duales en el doble del producto tensor no es un isomorfismo?

Question

Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales (que decir con respecto a los reales). Hay un lineal de inyección de $V^* \otimes W^* \to (V \otimes W)^*$ que envía a $\sum_i f_i \otimes g_i \in V^* \otimes W^*$ a la funcional único en el $(V \otimes W)^*$ envío de $v \otimes w \mapsto \sum_i f_i(v) \cdot g_i(w)$ todos los $(v,w) \in V \times W$. En el finito dimensionales caso es fácil ver que esto es un isomorfismo mediante la comparación de las dimensiones en ambos lados. Soy consciente de que esto no es un isomorfismo en el infinito-dimensional caso (véase la Relación con el espacio dual en el artículo de wikipedia sobre el tensor de productos), pero debo admitir que no estoy seguro de por qué. El cardenal aritmética no parece ser de ayuda aquí y, aunque así fuera, yo sería mucho más feliz para ver un ejemplo claro de un funcional en $(V \otimes W)^*$ fuera de la gama de este mapa. Estoy teniendo problemas para cocinar uno mismo.

Añadido: permítanme explicar mi comentario sobre el cardenal de la aritmética. Supongamos que $X$ $Y$ son infinitas dimensiones espacios vectoriales sobre un campo $k$. Estoy seguro de que $\dim (X \otimes Y) = \dim X \cdot \dim Y$ mantiene. Está claro que $|X^*| = |k|^{\dim X}$ dado que se puede identificar a una funcional en $X$ con una función de base para $X$$k$. También creo que he convencido a mí misma de que si $\dim X \geq |k|$ a $|X| = \dim X$ ie. la cardinalidad y la dimensión de un espacio vectorial de acuerdo cuando la dimensión es mayor que la cardinalidad del campo de tierra. En consecuencia, suponiendo que decir que $|k| \leq \dim X \leq \dim Y$ parece que hemos $$ \dim(X \otimes Y)^* = |k|^{ \dim X \cdot \dim Y} = |k|^{ \dim Y} = \dim Y^* = \dim X^* \cdot \dim Y^* = \dim (X^* \otimes Y^*)$$

lo que implica que, de hecho, $(X \otimes Y)^*$ $X^* \otimes Y^*$ son isomorfos, sino, más bien frustrante, el obvio mapa no hacer el trabajo. Hice un error aquí? Si no, es cierto en general (es decir, sin hacer suposiciones acerca de la $|k|$) que existe alguna isomorfismo $(X \otimes Y)^* \to X^* \otimes Y^*$?

Answer 1

El mapa no es un isomorfismo porque un elemento en $X^*\otimes Y^*$ es un finito suma de funcionales de la forma $x*\otimes y*$ donde$x^* \in X^*$$y^* \in Y^*$. Sin embargo, cuando se $X$ $Y$ son infinitas dimensiones, no todas funcional en $X\otimes Y$ va a ser de esta forma.

Un caso a considerar, lo que hará que esta claro, es el caso cuando se $Y = X^*$. Hay un elemento obvio de $(X\otimes Y)^*$, es decir, la evaluación mapa que lleva un tensor $x\otimes y$ en el valor funcional de la $y$ sobre el vector $x$. Ahora uno puede comprobar que este elemento no en la imagen con el mapa de $X^*\otimes Y^*$.

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Me voy a tomar un poco de tiempo para reescribir el ejemplo anterior en un idioma diferente, porque creo que ayuda a ilustrar lo que está pasando.

En primer lugar observamos que si $Y = X^*$, luego $X\otimes Y$ incrusta en $End(X)$ (el espacio de los operadores lineales de $X$ a istelf) como el espacio finito de rango lineal de operadores (es decir, cuya imagen es finito-dimensional). Denotar esta imagen por $FREnd(X)\subset End(X)$. Tenga en cuenta que cualquier elemento de a $FREnd(X)$ tiene una bien definida de seguimiento (porque a pesar de que el dominio es de infinitas dimensiones, el rango es finito dimensionales); en el producto tensor descripción, esto es sólo el natural mapa de $X\otimes Y$ a el campo de tierra dada por la evaluación de los funcionales en $Y$ sobre los vectores en $X$. (Este es precisamente el funcional en $X\otimes Y$ que hemos considerado anteriormente, reexpresado en el lenguaje de los operadores.)

La sustitución de $X$ $X^*$ en el párrafo anterior, vemos que $X^*\otimes Y^* = FREnd(X^*)$. Tenga en cuenta que hay una natural mapa $FREnd(X) \to FREnd(X^*)$ dado por la asignación de un endomorfismo $\phi$ a su transponer $\phi^t$. (En términos del tensor de productos, esta es la natural mapa de $$X \otimes Y = X\otimes X^* \to X^{**}\otimes X^* \cong X^*\otimes X^{**} =X^*\otimes Y^*,$$ el isomorfismo de ser de la canónica de uno que cambia el dos factores).

El mapa de $X^*\otimes Y^*\to (X\otimes Y)^*$ puede entonces ser reintrepreted como la vinculación entre $FREnd(X^*)$ $FREnd(X)^*$ se define de la siguiente manera: para $\phi\in FREnd(X^*)$ $\psi \in FREnd(X),$ $$\langle \phi,\psi\rangle := trace(\phi\circ \psi^t).$$

Y ahora veremos por qué este mapa no es surjective: por ejemplo, si $\phi$ es cualquier endomorfismo de $X^*$, es decir, cualquier elemento de $End(X^*)$, a continuación, el compuesto $\phi\circ \psi^t$ ha finito rango (desde $\psi^t$), y por lo $trace(\phi\circ\psi^t)$ está definido.

Así estamos, de hecho, tiene una incrustación de todos los de $End(X^*)$ a $FREnd(X)^*$. Con un poco más de trabajo puede comprobar que este último la inclusión es un isomorfismo. La conclusión en este caso es que la incrustación $X^*\otimes Y^* \to (X\otimes Y)^*$ puede ser reinterpretada como la incrustación de $$FREnd(X^*) \to End(X^*),$$ que no es surjective al $X^*$ (o, equivalentemente, $X$) es de infinitas dimensiones, ya que no contiene el mapa de identidad (por ejemplo).

Tenga en cuenta que en virtud de la identificación de $End(X^*)$$FREnd(X)^*$, el mapa de identidad se identifica precisamente con la traza en $FREnd(X)$, y así obtenemos una reinterpretación de nuestro ejemplo original, y ver más claramente lo que está pasando: el punto es que la identidad endomorfismo de un infinito dimensional espacio vectorial no tiene rango finito.