¿Qué es un conjunto simple o comúnmente conocido que tiene una cardinalidad igual a Aleph 2 o mayor?
Respuesta
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El problema con los alephs, otros de $\aleph_0$, es que ellos no viven en el "comúnmente conocido" mundo. Pensar de los conjuntos que son comúnmente conocidos por los matemáticos:
- Finito de conjuntos;
- Número de conjuntos de $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$, que tiene cardinalidad $\aleph_0$ o $2^{\aleph_0}$;
- Conjuntos de poder, que han cardinalidades de la forma $2^{\kappa}$;
- La función de los conjuntos, que han cardinalidades de la forma $\kappa^{\lambda}$;
- Conjuntos de secuencias (ver función conjuntos);
- Productos y uniones de conjuntos, que han cardinalidades de la forma $\kappa\lambda$ o $\kappa + \lambda$;
- ...y así sucesivamente.
El reino de la "comúnmente conocido' se compone de cardenales formado a partir de finito cardenales y $\aleph_0$ tomando potencias, sumas y productos, no el cardenal sucesores.
Yo diría que el más comúnmente conocido conjunto de cardinalidad igual a $\aleph_2$ el (von Neumann) ordinal $\omega_2$, o de hecho cualquier ordinal $\alpha$ que $\omega_2 \le \alpha < \omega_3$.
Sin embargo, sí podemos construir cardenales que son mayor o igual a $\aleph_2$. De hecho, sabemos que $2^{\kappa} > \kappa$ para todos los cardenales $\kappa$, por lo que $$2^{2^{\aleph_0}} > 2^{\aleph_0} > \aleph_0 \quad \Rightarrow \quad 2^{2^{\aleph_0}} \ge (2^{\aleph_0})^+ \ge \aleph_0^{++} = \aleph_2$$ y, por tanto, cualquier conjunto de cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$ va a hacer por usted. Por ejemplo, $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ o $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, ambos de los cuales son conjuntos que aparecen en (digamos) análisis real.
