El único número natural$x$ para el cual$x+\sqrt{-2}$ es un cubo en$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ es$x=5$

Question

Dejar $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]= \{a+b\sqrt{-2} \ : a, b \in \mathbb{Z}\}$. Mostrar que el único número natural$x$ para el cual$x+\sqrt{-2}$ es un cubo en$A$ es$x=5$.

Así que tengo que demostrar que existe$c,d \in \mathbb{Z}$ tal que$(x+\sqrt{-2})^3= c + d \sqrt{-2}$. De la última ecuación, obtengo$x(x^2-6) = c \in \mathbb{Z}$ y$3x^2-2= b \in \mathbb{Z}$, y aquí bloqueé. ¿Podría concluir de ambas ecuaciones? Si no, ¿existe otra manera de proceder (pista)?

¡Gracias!

Answer 1

$x + \sqrt{-2} = (c + d\sqrt{-2})^3$ lleva a$c^3-6cd^2=x$ y$3c^2d-2d^3=1$. La última ecuación da$d=\pm1$ y$c=\pm1$. Entonces la respuesta es$x=5$.

Answer 2

Directamente

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Entendemos que debe ser

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Pero$$(a+b\sqrt{-2})^2(a+b\sqrt{-2})=(a^2-2b^2+2ab\sqrt{-2})(a+b\sqrt{-2})=$, imposible, por lo que debe

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y por lo tanto queremos$$=(a^3-6ab^2)+(3a^2b-2b^2)\sqrt{-2}$, por lo que por ejemplo

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Pero$$3a^2b-2b^2=1\iff b(3a^2-2b)=1\iff b,\,3a^2-2b=\pm 1$, así que intentemos la otra opción con$b=-1\implies 3a^2-2(-1)=-1\implies3a^2=-3$:

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y esta vez $$\;b=1\implies3a^2-2=1\iff 3a^2=3\implies a^2=1\iff a=\pm1\;$ .