Sea$L$ un campo y$\alpha, \beta$ algebraic sobre$L$ tal que$L(\alpha)\cong L(\beta)$. Si$q(t)$ y$p(t)$ son los polinomios mínimos de$\alpha$ y$\beta$, sigue que existe un automorfismo$\psi$ of$L[x]$ tal que$\psi(q(t))=p(t)$.
El inverso a esta pregunta es inmediato empujando$\psi$ abajo a$L[x]/\langle q(t)\rangle$. No veo una manera de levantar el isomorfismo entre$L[x]/\langle q(t) \rangle$ y$L[x]/\langle p(t) \rangle$ hasta$L[x]$.
¿Esto funciona? $L$ son los racionales,$\alpha=\root3\of2$,$\beta=\root3\of4$. Así que$L(\alpha)=L(\beta)$ (como se solicita en el comentario sobre la respuesta de @Hurkyl),$q(t)=t^3-2$,$p(t)=t^3-4$. Cualquier automorfismo de$L[t]$ debe llevar$1$ a$1$ y$t$ a$at+b$ necesitaríamos$a$ como polinomios, y eso no ocurrirá con$b$ y$(at+b)^3-2=t^3-4$ racionales.
Un contraejemplo es tomar $L = k(x^4)$, $\alpha = x^2$, y $\beta = x$.
A continuación, $\alpha$ es algebraico sobre $L$ con un mínimo de polinomio $f(t) = t^2 - x^4$.
También se $\beta$ es algebraico sobre $L$ con un mínimo de polinomio $g(t) = t^4 - x^4$.
Tenemos $k(\beta) \cong k(\alpha) \cong k(x^4)$
Sin embargo, automorfismos de a $L[t]$ que arreglar $L$ son todos de la forma $t \mapsto a + bt$, y así no hay automorphism de $L[t]$ que envía a $f \to g$ o $g \to f$.
(No creo nada relevante a lo extraño sucede si permitimos que los automorfismos que no fix $L$)
Dicho esto, mientras que los campos de $k(x)$ $k(x^2)$ son isomorfos, el campo de extensiones $k(x) / L$ $k(x^2) / L$ no son isomorfos.
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