Un problema de diferenciación en casi todas partes

Question

Dejemos que $f: \mathbb R \to \mathbb R$ sea una función continua, y exista una $k>0$ tal que para cada $y \in \mathbb R$ hay a lo sumo $k$ distintivo $x$ con $f(x)=y$ . Demostrar que $f$ es diferenciable a.e.

Mi enfoque es tratar de mostrar $f$ es absolutamente continua, pero necesito una pista para empezar. Gracias.

Answer 1

Es suficiente para mostrar $f$ es localmente de variación acotada.

Dejemos que $I$ sea un intervalo compacto. Entonces $f$ alcanza un valor máximo y mínimo en $I.$ Dejemos que $m^+,m^-$ sean estos valores, respectivamente.

Intenta mostrar la variación de $f$ en $I$ está limitada por $k(m^+ - m^-).$