#implicará:

Question

¿Cómo mostrar que$\bf AD$ implica$\bf AC_{\omega}(\mathbb{R})$?

$\bf AD$ es abreviado para axioma de determinación . $\bf AC_{\omega}(\mathbb{R})$ indica que para cada familia$(X_i)_{i∈\omega}$, en la que, cada$X_i$ es un subconjunto de$\mathbb{R}$, el conjunto de productos contables$\prod_{i∈\omega}X_i$ no está vacío.

Se sabe que$\bf AD$ y$\bf AC$ son incompatibles (Ver, por ejemplo, el teorema 6.5, Axioma de elección (Herrlich)), pero ¿por qué$\bf AD$ implica$\bf AC_{\omega}(\mathbb{R})$?

Answer 1

Deje $X_i\subseteq\mathbb\omega^\omega$ no vacío para $i\in\omega$. Definimos $A$ a ser el conjunto de $\{x\in\omega^\omega\mid x_{II}\notin X_{x(0)}\}$ donde $x_{II}$ indica la secuencia de extraño coordenadas en $x$.

El juego es jugado en $\omega$ y el ganador del set es $A$, es decir, $I$ gana si y sólo si la secuencia resultante es en $A$. Claramente $I$ no puede ganar. Por lo tanto, $II$ tiene una estrategia ganadora $\tau$.

Luego se le da $n\in\omega$ sabemos que las secuencias de movimientos realizados por $II$ $\tau$ si $I$ juega $(n,0,0,0,0,0,\ldots)$ $X_n$ todos los $n\in\omega$, y ahí está su función de elección.