Una lista infinita de números irracionales a partir de un número irracional.

Question

Hay un número irracional interesante, en binario es,

.01101110010111011110001001101010111100110111101111...

Se realiza añadiendo los números 0,1,2,3,4,5,6,7 etc. uno tras otro en binario.

0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111 etc

Podemos formar una matriz cuadrada a partir de este número irracional.

Los primeros veinticinco dígitos binarios se colocarían en este orden.

$ \begin{matrix} 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 2 & 3 & 8 & 15 & 24 \\ 5 & 6 & 7 & 14 & 23 \\ 10 & 11 & 12 & 13 & 22 \\ 17 & 18 & 19 & 20 & 21 \\ \end{matrix} $

Así que nuestra matriz comenzaría con

$ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix} $

Y la matriz tendría un número infinito de dígitos a la derecha y abajo.

Podemos convertir nuestra matriz en una lista así.

    0.00010...  
    0.11000... 
    0.11111... 
    0.10110... 
    0.11100...
       ...

Tendremos un objeto eterno fijo e infinito. Contendrá un número infinito de números irracionales.

Mi pregunta es si esta lista contendrá números como la versión binaria de $\pi-3 = 0.141159 \ldots = 0.001001000011111100111110 \ldots$ y lo que es más importante, ¿contiene algún número racional como $ 0.10101010 \dots$

Answer 1

NO EN RESPUESTA a un comentario largo

Llame al número irracional mencionado por primera vez en la OP, $B$. Para generar los dígitos de los números en la lista de dígitos especificado en los índices deben ser seleccionados de $B$. Para calcular el dígito $n$ $B$ es necesario en primer lugar conocer el índice del primer dígito de un número en $B$ que tiene el mismo número de dígitos que $n$ puntos. Deje $f(n)$ ser ese índice. Deje $d(n)$ el número de dígitos de los números que comienzan a $f(n)$.

Por ejemplo, tomar $n=500$. $f(500)=322$ y $d(500)= 7$. Esto significa que 500 de los índices de los números de 7 dígitos, que se inician en el índice 322. 500 corresponde a la $\lfloor\frac{500-322}7\rfloor=25$th (basado en cero) número de 7 dígitos. Ese número es de 64+25=89=1011001b. Y el bit es la 3ª poco a la derecha de la MSB (bit más significativo), es decir, un 1.

Esta fórmula se obtiene el índice inicial para $d$ números de un dígito dentro de $B$: $s(d)=2^{\left(d-1\right)}\left(d-2\right)+2$. 1 números de dos dígitos de inicio en el índice 0, el 2 dígitos de los números de comenzar el índice 2, el 3 números de un dígito en 6, 4 números de dos dígitos a los 18 años, etc.

La fórmula que da el número de dígitos para un determinado índice $n$ $s$ invertido: $s^{-1}(n)=\left\lfloor\frac{W\left(\ln(2)\cdot\frac{n-2}2\right)}{\ln 2}\right\rfloor+2$ donde $W$ es la función W de Lambert. $s^{-1}(n)$ es lo mismo que $d(n)$ mencionado anteriormente. (Nota: $d(n)$ no es un verdadero inversa de a $s(n)$ porque los mapas de entrada múltiples valores para un único valor de salida.)

A continuación, $f(n)=s(d(n))$

Poniendo a estos en conjunto, el bit en el índice de $n$ $B$ es: $$\begin{align} \text{value of first d(n) digit number: }&a = 2^{d(n)-1} \\ \text{value of number that n points to: }&v =a + \left\lfloor\frac{n-f(n)}{d(n)}\right\rfloor\\ \text{index of bit to obtain: }&i = (n-f(n)) \bmod d(n)\\ \text{value of bit to obtain: }&b = \left\lfloor\frac{v}{2^{d(n)-i-1}}\right\rfloor \bmod 2\\ \end{align}$$

Con 500 como un ejemplo: $a=2^{7-1}=64, v = 64+\lfloor(178/7)\rfloor=89, i=178\bmod 7=3, b=\lfloor 89/2^{7-3-1}\rfloor \bmod 2=11\bmod 2=1$