Si$C^*$ y$R^+$ indican el grupo multiplicativo de los números complejos no cero y el subgrupo de los reales positivos, entonces ¿qué significa el grupo cociente$\frac{C^*}{R^+}$?
Respuesta
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Bueno, si te acuerdas de tu básicos de la teoría de grupo, usted recordará que los elementos del grupo $C^\ast/R^+$ son los cosets de $R^+$$C^\ast$; además, $z_1, z_2 \in C^\ast$ están en la misma coset si y sólo si $z_1 z_2^{-1} \in R^+$, es decir, si y sólo si $z_1 = rz_2$ algunos $r \in R^+$. Esto significa que $z_1$ $z_2$ se encuentran en la misma rayo que pasa por el origen, por lo que debemos tener $\arg z_1 = \arg z_2$. Y está empezando a parecerse mucho a $C^\ast/R^+$ es el círculo de grupo $S^1$ . . .
De hecho, la escritura $z_j = r_j e^{i\theta_j}$, $j = 1, 2$, vemos de $z_1 = rz_2$ o $r_1 e^{i\theta_1} = rr_2e^{i\theta_2}$ que $r_1 = r r_2$$e^{i\theta_1} = e^{i\theta_2}$; la restricción de $\theta_1, \theta_2 \in [0, 2\pi)$ tenemos $\theta_1 = \theta_2$; cada coset es, pues, representado por un único $\theta \in [0, 2\pi)$ o, de manera equivalente, un único unimodular complejo de número de $e^{i\theta}$. Además, es fácil ver que $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$, la natural proyección de $C^\ast \to C^\ast/R^+ = S^1$ es un homomorphism tomar $z_1z_2$$\theta_1 + \theta_2$, donde usamos la costumbre, además de $\mod 2\pi$. $C^\ast/R^+$ es el círculo de grupo, de hecho.
Espero que esto ayude. Saludos,
y como siempre,
Fiat Lux!!!
