¿Cómo funciona el truco de Herglotz?

Question

Hay un representación en serie como expansión de fracción parcial donde se resumen las funciones recíprocas recién traducidas, de manera que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: $$ \pi \cdot \cot (\pi x) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}. $$ Esta identidad se puede probar con el truco de Herglotz.

Suena divertido, especialmente cuando entiendes el alemán (perdón Gustav ;-), pero ¿cómo funciona?

Answer 1

El truco de Herglotz es básicamente definir $$f(x):=\pi\cot\pi x,\quad g(x):=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}$$ y derivar suficientes propiedades comunes de estas funciones para ver al final que deben coincidir. A saber, consiste en mostrar que:

1. $f$ y $g$ se definen para todos los valores no integrales y son continuos allí.
2. Son periódicos del período 1.
3. Son funciones de impar.
4. Satisfacen la misma relación funcional $f(\frac{x}{2})+f(\frac{x+1}{2})=2f(x)$ y $g(\frac{x}{2})+g(\frac{x+1}{2})=2g(x)$ .
5. Al definir $h(x)=f(x)-g(x)$ y el ajuste $h(x):=0$ para $x\in\mathbb{Z}$ , $h$ se convierte en una función continua en todos los $\mathbb{R}$ que comparte las propiedades dadas en (2), (3), y (4).

Ahora el "truco" es usar todas estas propiedades de la siguiente manera. Desde $h$ es una función periódica continua, posee un máximo $m$ . Deje que $x_0$ ser un punto en $[0,1]$ con $h(x_0)=m$ . Se deduce de (4) que $$h\left(\frac{x_0}{2}\right)+h\left(\frac{x_0+1}{2}\right)=2m,$$ y por lo tanto que $h(\frac{x_0}{2})=m$ . La iteración da $h(\frac{x_0}{2^n})=m$ para todos $n$ y por lo tanto $h(0)=m$ por la continuidad. Pero $h(0)=0$ y así $m=0$ es decir.., $h(x)\leq 0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ . Como $h(x)$ es una función impar, $h(x)<0$ es imposible, por lo tanto $h(x)=0$ para todos $x\in\mathbb{R}$ .

Answer 2

Doy una prueba bastante detallada en esta respuesta pero no estoy seguro de cuál es el truco de Herglotz.

Encontré una descripción del truco de Herglotz en la web y parece ser el método que empleé allí. Es decir, mirar las suficientes similitudes de las funciones para que tengan que ser las mismas.