¿Por qué se llaman anillos cociente cociente de anillos?

Question

Deje $R$ ser un anillo, y $I$ a ser un ideal de a $R$. Deje $a\in R$.

Definición 1.1 : El coset de $I$ con respecto al $a$ se define a ser $a+I=\{a+x:x \in I\}$

Definición 1.2 : El conjunto de cosets de $I$ $R$ se define a ser $R/I=\{a+I:a \in R\}$ $+,\cdot$ definido en $R/I$, como se muestra.

El conjunto $R/I$ junto con las operaciones de $+, \cdot$ se llama el cociente del anillo de $R$ $I$ (también se conoce como $R \mod I$ ).

Yo realmente no veo por qué nosotros llamaríamos un anillo el anillo cociente o escribir $R/I$. En mi cabeza esto sugiere la existencia de algún tipo de división del anillo de $R$ con el ideal de $I$, lo mismo va para referirse a ella como $R \bmod I$.

Podría alguien explicar por qué nos referimos a este particular anillo en estas formas y me muestran cómo el nombre de cociente es apropiado.

Gracias.

Answer 1

Más en general, dada una relación de equivalencia $\sim$ sobre un conjunto $X$, el conjunto de clases de equivalencia se llama el cociente de $X$ $\sim$ y que se denominan $X/\!\sim$.

$R/I = R/\!\equiv$ donde $\equiv$ es la relación de equivalencia dada por $a \equiv b$ fib $a-b \in I$.

$\equiv$ es una relación de equivalencia iff $I$ es un subgrupo aditivo de $R$.

$\equiv$ induce una estructura de anillo en $R/I$ iff $\equiv$ es compatible con la multiplicación iff $I$ es un ideal de a $R$.

Recíprocamente, una relación de equivalencia $\sim$ induce una estructura de anillo en $R/\!\sim$ fib es compatible con la estructura de anillo de $R$; entonces se llama una congruencia en $R$. En este caso, $R/\!\sim=R/I$ donde $I=[0]$.

Answer 2

Parece "cociente" en este sentido apareció por primera vez en el contexto de grupos. El cociente de un grupo $G$ por su subgrupo normal $H$ consiste en el cojunto $gH$ $g \in G$. Si el grupo $G$ $n$ elementos y cuenta con el subgrupo $H$ $m$ elementos, supuesto $m$ es un divisor de $n$ y $G/H$ tiene $n/m$ elementos.

Answer 3

Una buena manera de comprender la motivación por el nombre de "cociente del anillo" es para tener en cuenta el tamaño de los cosets en un cociente del anillo. Para tomar el cociente de un anillo es esencialmente dividir $R$ en cosets que contienen el mismo número de elementos como la ideal, $I$, utilizado para construir $R/I$.

Puesto que la noción de cociente grupos precedió a la de cociente de los anillos, el hecho de que $|G/N| = \frac{|G|}{|N|}$ para un grupo finito $G$ y un subgrupo normal $N$ por Lagrange del Teorema sin duda jugó un papel importante.