Que $x$, $y \in \text{M}_k(\mathbb{R})$. $k \gg 0$, Tenemos $$e^{{1\over k}x} e^{{1\over k} y} e^{-{1\over k} (x + y)} = e^{{1\over{k^2}}\left({1\over2}[x, y] + z_k\right)},$$where $ [x, y] = xy - yx $ and $ z_k \in \text{M}_k(\mathbb{R})$ is a sequence such that $\lim_ {\to \infty k} | z_k | ¿= 0$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí.
Es sencillo para derivar este de la Baker–Campbell–Hausdorff fórmula:
$$e^{tx} \, e^{ty} = e^{t(x+y) + \frac{t^2}{2} [x,y] + o(t^2) }$$
Para la comodidad de notación he escrito $t = 1/k$. Así que podemos escribir
\begin{align*} e^{tx} \,e^{ty}\, e^{- t(x+y)} & = e^{t(x+y) + \frac{t^2}{2} [x,y] + o(t^2) }\,e^{- t(x+y)} \end{align*}
Utilizando el Panadero–Campbell–Hausdorff fórmula de nuevo: \begin{align*} e^{tx} \,e^{ty}\, e^{- t(x+y)} &= e^{\left(\frac{t^2}{2} [x,y] + o(t^2) \right) + \frac{1}{2}\left(\left[t(x+y) + \frac{t^2}{2} [x,y] + o(t^2), - t(x+y)\right]\right) + o(t^2)}\\ & = e^{\frac{t^2}{2} [x,y] + o(t^2)} \end{align*}
Como usted probablemente sabe, la notación "$o(t^2)$" es un convencionales shortcurt para "$t^2 \,z_t$ donde $z_t$ es alguna secuencia tal que $\lim z_t = 0$" (pero esta secuencia puede ser diferente cada vez que escribo "$o(t^2)$")
