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Question

Estoy tratando de determinar si $\Bbb Z_6 \cong \Bbb Z_3 \times \Bbb Z_2 $. Me di cuenta de que $\Bbb Z_6$ tiene un generador de $1$ $\Bbb Z_3 \times \Bbb Z_2$ ha generador de $(1,1)$. Ahora puedo configurar el bijection $f :\Bbb Z_6 \to \Bbb Z_3 \times \Bbb Z_2 $ donde \begin{eqnarray} f(1)&=&(1,1)\\ f(1+1)&=&(1,1)+(1,1) = (2,0)\\ f(2+1)&=&(2,0)+(1,1) = (0,1)\\ f(3+1)&=&(0,1)+(1,1) = (1,0)\\ f(4+1)&=&(1,0)+(1,1) = (2,1)\\ f(0)&=&(1,1)+(2,1) = (0,0)\\ \end{eqnarray} Así que, básicamente, $f(1^n) = (1,1)^n$ donde $1^n$ significa que añadir el $1$ sí $n$ a veces y el resultado mod 6, así que como es habitual por $1^n$ significa aplicar el grupo de operación de 1 a sí mismo para $n$ veces. Así que este es un bijection pero estoy atascado en mostrar que $f(ab)=f(a)f(b)$ todos los $a,b \in \Bbb Z_6$. Pude comprobar todas las posibilidades, sino que debe haber una mejor manera de mostrar esto. Yo estaba pensando en algo como $f(1^n1^m) = f(1^{n+m})=(1,1)^{n+m}=(1,1)^n(1,1)^m = f(a)f(b) $ debido a que cada elemento en $\Bbb Z_6$ puede ser expresado como algún poder de $1$.

Esto es correcto? Y es suficiente para mostrar la $\Bbb Z_6 \cong \Bbb Z_3 \times \Bbb Z_2 $?

Answer 1

Por lo general la manera de demostrar que un isomorfismo de este tipo es no definir un mapa para cada elemento y, a continuación, tratamos de demostrar que el mapa respeta la estructura del grupo, sino más bien para definir un homomorphism y, a continuación, usar el teorema del isomorfismo para demostrar que el resultado de la homomorphism es lo que quieres. Así que aquí se define el mapa en el generador mediante el establecimiento $f(1)=(1,1)$, para luego decir "extender a un homomorphism" entre los grupos y, a continuación, probar que a (o inyectiva), que es suficiente para mostrar isomorfismo.

Answer 2

Considerar el mapa $\mathbb Z \to \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_2$ de $x\mapsto (x \bmod 3, x\bmod 2)$. Es fácil demostrar que este mapa es un homomorfismo de sobreyectiva cuyo núcleo es $6\mathbb Z$.

Answer 3

Podría ser algo instructivo para trabajar este ejercicio mediante la definición de $f:\mathbb{Z}/3\times\mathbb{Z}/2\to\mathbb{Z}/6$ via $f(a,b) = 3b - 2a$, y verificar que se trata de un homomorfismo del anillo.

A continuación, definir $g:\mathbb{Z}/6\to\mathbb{Z}/3\times\mathbb{Z}/2$ via $g(x) = (x\pmod{3},x\pmod{2})$ y ver que $f\circ g$ y $g\circ f$ son los mapas de identidad. En otras palabras, $f$ es inverso a $g$ y $g$ es inverso a $f$.

Este es un caso especial de un fenómeno más general que es probable que bajo el pretexto del Teorema chino del resto.