Valores propios de la matriz simétrica

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz, con $A_{ij}=i+j$ . Encuentre los valores propios de $A$ . Un alumno al que di clases particulares me hizo esta pregunta, y más allá de resolver que hay 2 valores propios no nulos $a+\sqrt{b}$ y $a-\sqrt{b}$ y $0$ con multiplicidad $n-2$ Estoy un poco perdido.

Answer 1

Dejemos que $u=(1,1,\ldots,1)^T$ y $v=(1,2,\ldots,n)^T$ . Entonces $A=uv^T+vu^T$ . Como $u$ no es paralela a $v$ y son vectores no nulos, $A$ tiene rango 2 y cada vector propio para un valor propio no nulo $\lambda$ debe estar en el intervalo de $u$ y $v$ . Dejemos que $(\lambda,\,pu+qv)$ sea un par propio. Entonces $$ \lambda(pu+qv)=(uv^T+vu^T)(pu+qv)=u[v^T(pu+qv]+v[u^T(pu+qv)]. $$ Desde $u$ y $v$ son linealmente independientes, comparando los coeficientes de ambos lados, obtenemos $$ \lambda\pmatrix{p\\ q}=\underbrace{\pmatrix{v^Tu&v^Tv\\ u^Tu&u^Tv}}_B\pmatrix{p\\ q}. $$ Por lo tanto, los valores propios no nulos de $A$ son exactamente los dos valores propios de $B$ . Dado que el polinomio característico de $B$ es $$ \lambda^2-2(u^Tv)\lambda+[(u^Tv)^2-(u^Tu)(v^Tv)] \equiv (\lambda-u^Tv)^2-(u^Tu)(v^Tv), $$ se deduce que $$ \color{red}{\lambda=u^Tv\pm\sqrt{(u^Tu)(v^Tv)}.} $$

En su caso, al poner $u=(1,1,\ldots,1)^T$ y $v=(1,2,\ldots,n)^T$ obtenemos $$ \lambda = \frac{n(n+1)}2\pm\sqrt{\frac{n^2(n+1)(2n+1)}6}. $$